Complémentabilité et maximalité, en théorie ergodique et en théorie des filtrations

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Date(s) - 15/01/2016
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Soit $(E,{\cal E},\pi,T)$ un système dynamique. Un facteur de $T$ est une sous-tribu de ${\cal E}$ invariante par $T$. Un facteur ${\cal A}$ est dit complémentable s’il existe un facteur ${\cal B}$ indépendant de ${\cal A}$ tel que ${\cal A} \vee {\cal B} = {\cal E}$.

Soit $Z = (X,Y)$ un mouvement brownien complexe et $U$ un mouvement brownien réel dans la filtration naturelle de $Z$. On dit $U$ est complémentable s’il existe un mouvement brownien $V$ indépendant de $U$ tel que $(U,V)$ engendre la même filtration que $Z$.

Soit $({\cal Z}_n)_{n \le 0}$ une filtration indexée par les entiers négatifs et $({\cal U}_n)_{n \le 0}$ une filtration immergée dans $({\cal Z}_n)_{n \le 0}$. On dit que $({\cal U}_n)_{n \le 0}$ est complémentable dans $({\cal Z}_n)_{n \le 0}$ s’il existe une filtration $({\cal V}_n)_{n \le 0}$ indépendante de $({\cal U}_n)_{n \le 0}$ telle que $({\cal Z}_n)_{n \le 0}$ soit engendrée par $({\cal U}_n)_{n \le 0}$ et $({\cal V}_n)_{n \le 0}$.

Nous présentons une autre notion appelée maximalité, plus faible que la complémentabilité. Malgré une analogie frappante, les notions de complémentabilité est différente suivant le contexte.

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~leuridan/

Olivier CHABROL
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