Corrélations pour les systèmes de numération

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Date(s) - 19/12/2014
0 h 00 min

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Soutenance de thèse


Title: Correlations for numeration systems
Titel : Korrelationen für Zahlensysteme

Cette thèse porte sur la fonction bien connue de somme des chiffres et sur les notions associées de fonctions q-additives et q-multiplicatives. Dans les travaux de C. Mauduit et de J. Rivat sur les problèmes de Gelfond, qui ont pour objet la fonction somme de chiffres, l’utilisation de la transformée de Fourier discrète s’est avérée très efficace. Dans le premier chapitre, nous employons cette technique dans le contexte plus général des fonctions q-multiplicatives, ce qui nous permet de redémontrer un résultat de J. Coquet concernant la relation entre les fonctions q-multiplicatives pseudo-aléatoires et le spectre de Fourier-Bohr. De plus, nous obtenons un résultat analogue pour la fonction somme de chiffres associée au système de numération de Zeckendorf.
Les deux chapitres suivants sont consacrés à la relation entre la somme de chiffres de n et celle de n + t. Nous montrons d’abord une étonnante propriété de symétrie entre les chiffres et un résultat étroitement lié sur certaines suites 2-régulières. Ensuite, nous donnons une réponse partielle à la question de T. W. Cusick: ≪Pour tout entier positif t, est-il vrai que la somme des chiffres de n + t en base 2 est au moins aussi grand que la somme des chiffres de n en base 2 pour plus de la moitié de l’ensemble des entiers positifs n?≫ En recourant aux fonctions génératrices de plusieurs variables, nous parvenons à montrer que la réponse est positive pour toutes les valeurs de t dans un ensemble de densité asymptotique égale à 1.
Dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons aux sous-suites d’entiers de la forme ⌊nc⌋. Nous donnons des approximations locales de ces suites par des suites de Beatty, de forme plus simple ⌊nα + β⌋. Cela nous amène à établir un critère général permettant d’examiner si une fonction arithmétique évaluée aux entiers de la forme ⌊nc⌋ a le comportement attendu. Nous appliquons notre théorème à certains problèmes en lien avec les fonctions sommes de chiffres.
Enfin, nous adaptons la technique de la transformée de Fourier discrète à la fonction somme des chiffres dans le système de numération de Zeckendorf afin de montrer que cette fonction ainsi que la fonction somme des chiffres en base q sont indépendemment distribuées dans les classes d’ ́équivalence (sous des hypothèses assez faibles).

{{Mots clés :}} q-additive function, q-multiplicative function, sum of digits, sum-of-digits function, Piatetski-Shapiro, Beatty sequences, Zeckendorf sum-of-digits function, Thue-Morse sequence.

*Membres du jury :


M. Michael Drmota – Professeur, Université de Vienne – Co-directeur de thèse
M. Joël Rivat – Professeur, Aix-Marseille Université (I2M) – Directeur de thèse
Mme. Cécile Dartyge – Maître de Conférences, Université de Lorraine (IECL) – Rapportrice
M. Gerhard Larcher – Professeur, Université de Linz (RICAM) – Rapporteur
M. Peter Grabner – Professeur, Université de Graz – Examinateur



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Olivier CHABROL
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