Courbes de Mumford et courbes de Shimura p-adiques: domaines fondamentaux et leurs graphes duals

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Date(s) - 30/06/2016
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Dans cet exposé nous présenterons des résultats explicites décrivant l’uniformisation $p$-adique de certaines familles infinies de courbes de Shimura. Il s’agit d’un travail en commun avec Laia Amorós.

Dénotons par $X(Dp,N)$ la courbe de Shimura associée à un ordre d’Eichler de niveau $N$ dans une algèbre de quaternions indéfinie de discriminant $Dp$. D’après les célèbres théorèmes de Cerednik et de Drinfeld, les points $p$-adiques de $X(Dp,N)$ peuvent s’exprimer comme un quotient du demi-plan $p$-adique supérieur pour l’action d’un certain sous-groupe discret et co-compact $Gamma_p \subseteq PGL_2(Q_p)$. En conséquence, la courbe de Shimura $p$-adique $X(D,N) \otimes_Q Q_p$ est la forme tordue, sur $Q_{p^2}$, d’un quotient fini d’une courbe de Mumford associée à un sous-groupe de Schottky co-compact $Gamma_p^{Sch} \subseteq Gamma_p$. Le groupe $Gamma_p$ s’obtient comme le groupe des unités d’un ordre d’Eichler de niveau $N$ sur $Z[1/p]$ dans l’algèbre définie de discriminant D.

Nous allons considérer alors certaines familles (infinies) de courbes de Shimura et nous décrirons une méthode qui permet de trouver le groupe de Schottky $Gamma_p^{Sch} \subseteq Gamma_p$ ainsi que la courbe de Mumford associée. Plus concrètement, cette méthode fonctionne pour les familles de courbes de Shimura $X(Dp,N)$ tels que le nombre de classes d’idéaux à gauche de l’ordre de quaternion définie est $h(D,N)=1$.Nous pouvons calculer des systèmes de générateurs et des domaines fondamentaux “bons” dans $H_p$, ainsi que les graphes duals des courbes de Mumford et des courbes de Shimura associées. Nous généralisons ainsi de beaux résultats de Gerritzen et van der Put décrivants les courbes de Mumford attachées à un ordre maximal d’une l’algèbre définie de discriminant $D=2$. Pour montrer ceci, nous étudierons l’arithmétique dans un ordre d’Eichler de l’algèbre de quaternions définie, en récupérant un ancien travail de Hurwitz.

https://piermarcomilione.wordpress.com

Olivier CHABROL
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