Développements récents autour de la conjecture de Nivat – Étienne Moutot

Etienne Moutot
LIS, CANA team, Aix-Marseille Université
http://perso.ens-lyon.fr/etienne.moutot/

Date(s) : 13/11/2020   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

A quel point peut-on créer des structures complexes à l’aide de motifs élémentaires ?

La conjecture de Nivat dit que toute configuration (coloration de la grille Z^2) de faible complexité (le nombre de motifs qui y apparaissent est « faible ») est nécessairement périodique. Autrement dit, il est impossible des créer des configuration « complexes » (non périodiques) à l’aide d’un petit nombre de motifs de base.

En 2015, Michal Szabados et Jarkko Kari ont publié leur premier article utilisant une approche algébrique pour s’attaquer à cette conjecture. Leur idée est de représenter une configuration comme une série formelle,
et en étudiant certaines structures qui lui sont liées (tels que des idéaux polynomiaux bien choisis). Ce faisant, ils parviennent à exploiter plusieurs théorèmes d’algèbre pour s’approcher de la conjecture de Nivat sous des angles nouveaux.

Dans cet exposé avec plein de dessins, nous verrons pourquoi ce formalisme permet une approche nouvelle (et visuelle !) du problème, et si on en a le temps je présenterai les travaux que j’ai effectué avec Jarkko Kari dans le continuation de la thèse de Michal Szabados. En particulier, de nouveaux théorèmes utilisant ces outils algébriques pour se rapprocher encore une fois de la conjecture de Nivat. Une des conséquences principales de nos derniers résultats est qu’ils permettent de prouver que la conjecture est vraie pour les configuration appelées uniformément récurrentes.

https://arxiv.org/abs/1905.04183

(Séminaire Teich en présence de N. Pythéas Fogg)

Nivat’s conjecture

Seulement par zoom (pour le login, voir mail):

https://univ-amu-fr.zoom.us/j/96499459275?pwd=Y0lEM3RTb015ODN2L0hKVXRrRTUzQT09

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