Échantillonnage mobile et échantillonnage diffusif – INSTITUT DE MATHÉMATIQUES DE MARSEILLE

Philippe Jaming
Institut de Mathématiques de Bordeaux
https://www.math.u-bordeaux.fr/~pjaming/

Date(s) : 11/01/2021 iCal
10 h 00 min - 11 h 00 min

La théorie classique de l’échantillonnage consiste à reconstruire une fonction (d’une ou plusieurs variables) à l’aide de ses valeurs prises sur un ensemble fixe de points. Par exemple, le célèbre théorème d’échantillonnage de Shannon nous dit qu’une fonction à bande limitée (i.e. dont la transformée de Fourier est supportée dans $[-c,c]^d$) peut être reconstruite à partir de ses valeurs sur le réseau $\frac{1}{2c}\Z^d$. De nombreux travaux en analyse complexe (Beurling, Landau,…) portent sur le remplacement de ce réseau par un ensemble uniformément discret et peuvent se résumer par le fait qu’une densité critique est nécessaire. Cette densité peut-être vue comme un coût en terme de nombre de capteurs nécessaires pour la reconstruction du signal.

Le but de l’échantillonnage mobile et de l’échantillonnage diffusif est en quelque sorte de voir ce qui se passe en-dessous de cette densité critique en utilisant le temps comme paramètre supplémentaire. Plus précisément, nous allons présenter deux thématiques actuelles:
— l’échantillonnage mobile: on dispose maintenant de moins de capteur (voire d’un nombre fini de capteurs) mais ceux-ci sont autorisés à se déplacer. Nous allons ici voir qu’un seul capteur se déplaçant le long d’une spirale permet de reconstruire un signal 2D. Cette stratégie est celle utilisée en imagerie IRM.
— l’échantillonnage diffusif: cette fois-ci, les capteurs sont fixes, mais le signal évolue avec le temps selon une équation de diffusion (a priori l’équation de la chaleur).

Mobile sampling and diffusive sampling

The classical theory of sampling consists in reconstructing a function (of one or more variables) using its values taken on a fixed set of points. For example, Shannon’s famous sampling theorem tells us that a band-limited function (ie whose Fourier transform is supported in $ [- c, c] ^ d $) can be reconstructed from its values on the network $ \ frac {1} {2c} \ Z ^ d $. Many works in complex analysis (Beurling, Landau, …) relate to the replacement of this network by a uniformly discrete set and can be summarized by the fact that a critical density is necessary. This density can be seen as a cost in terms of the number of sensors necessary for the reconstruction of the signal. The purpose of mobile sampling and diffusive sampling is to sort of see what happens below this critical density using time as an additional parameter. More precisely, we will present two current themes:
– mobile sampling: we now have fewer sensors (or even a finite number of sensors) but they are allowed to move. We will see here that a single sensor moving along a spiral can reconstruct a 2D signal. This strategy is the one used in MRI imaging.
– diffusive sampling: this time, the sensors are fixed, but the signal changes over time according to a diffusion equation (a priori the heat equation).

Catégories