Equations différentielles stochastiques unidimensionnelles inhomogènes en temps faisant intervenir le temps local du processus inconnu

Pierre Etoré
LJK, Université Grenoble Alpes
http://www-ljk.imag.fr/membres/Pierre.Etore/

Date(s) : 06/04/2018   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Dans ce travail, on cherche tout d’abord à étendre les résultats de J.F. Le Gall (1984) sur les Equations Différentielles Stochastiques avec Temps Local (EDSTL), au cas où tous les coefficients qui apparaissent dans l’EDSTL dépendent du temps. Nous obtenons des résultats d’existence et d’unicité pour les solutions de l’EDSTL dans ce contexte inhomogène en temps. Dans un second temps, nous nous penchons sur la question des opérateurs paraboliques naturellement associés au processus X solution de l’EDSTL étudiée. Nous prouvons une formule de  Feynman-Kac liant X et  la solution u(t,x) d’un problème d’EDP parabolique avec condition de transmission inhomogène en temps. En fait nous devons prouver nous-même l’existence d’une telle solution u(t,x). En effet, le résultat n’est pas fourni directement par le papier fondateur du O.A. Ladyzhenskaya et al. (1966), où ce type de problème est étudié sous une forme purement divergence. Enfin on cherche à identifier le générateur du processus de Feller constitué par le processus temps-espace associé à X. Les extensions possibles et les aspects simulation sont brièvement discutés en fin d’exposé.

Ceci est un travail en commun avec Miguel Martinez de l’Université Marne-la-Vallée-Paris-Est.

In this talk, we study time-inhomogeneous versions of one-dimensional Stochastic Differential Equations (SDE) involving the Local Time of the unknown process on curves. After proving existence and uniqueness for these SDE under mild assumptions, we explore their link with Parabolic Differential Equations (PDE) with transmission conditions. We study the regularity of solutions of such PDE and ensure the validity of a Feynman-Kac representation formula. These results are then used to characterize the solutions of these SDE as time-inhomogeneous Markov Feller processes.

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01356270v2

One-dimensional stochastic differential equations inhomogeneous in time involving the local time of the unknown process

 

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