Date(s) : 26/09/2018 iCal
13 h 30 min - 15 h 00 min
Soutenance de thèse
–
Dans cette thèse, nous étudions la contrôlabilité à zéro de quelques systèmes paraboliques continus et semi-discrétisés.
Nous considérons tout d’abord des systèmes en cascade d’équations paraboliques de la forme $\partial_t f – \partial_x(\gamma \partial_x f)=0$. La variable spatiale évolue dans un intervalle réel borné et ce système est semi-discrétisé en espace par un schéma aux différences finies. En appliquant la méthode des moments, nous démontrons des résultats de contrôlabilité à zéro et de $\phi(h)$ contrôlabilité à zéro, suivant les hypothèses formulées sur le maillage et les fonctions $\gamma$ et $q$. Puis nous étendons ces résultats lorsque la variable d’espace évolue dans un domaine cylindrique, la zone de contrôle se situant dans une partie d’une section au bord du cylindre. Ce domaine cylindrique se décompose en un produit de deux espaces. Sur le premier, de dimension 1, nous appliquons les résultats décrits précédemment. Sur le second, nous appliquons la méthode de Lebeau-Robbiano. Cette approche permet à la fois de montrer que le problème discrétisé est $\phi(h)$ contrôlable à zéro et de retrouver un résultat de contrôlabilité à zéro sur le système continu.
Dans une autre partie, nous nous intéressons au temps minimal de contrôle à zéro de l’équation de Grushin $\partial_t f – \partial_{xx} f – |x|^{2\gamma} \partial_{yy} f =0$ posée sur un domaine rectangulaire dont le domaine de contrôle est une bande verticale. L’étude se ramène à une infinité dénombrable, indexée par le paramètre de Fourier $n$, de problèmes de contrôle à zéro d’équations paraboliques, traitée, ici encore, à l’aide de la méthode des moments.
Cette dernière requiert des estimations précises sur le spectre d’opérateurs de Sturm-Liouville. Nous établissons, d’une part, des minorations sur certaines quantités dépendant des fonctions propres de ces opérateurs et nous étudions d’autre part la propriété de gap de leurs valeurs propres. Pour appliquer la méthode des moments aux différents problèmes de contrôle présentés tout au long de ce mémoire, il est alors crucial que ces estimations soient uniformes tantôt en le paramètre de discrétisation tantôt en le paramètre $n$. La théorie spectrale de ces opérateurs constitue donc la clef de voûte de cette thèse.
Les résultats présents dans cet exposé sont illustrés et complétés par de nombreuses simulations numériques, basés sur la méthode HUM.
–
{{Abstract:}} In this thesis, we study the null controllability of some continous and semi discretized parabolic systems.
We first consider cascade systems of parabolic equations of the form $\partial_t f – \partial_x(\gamma \partial_x f)=0$. The space variable belongs to a real and bounded interval and this system is semi-discretized in space by a finite differences scheme. Applying the so called moments method, we prove null controllability and $\phi(h)$ null controllability results, depending on the hypotheses on the mesh and on functions $\gamma$ and $q$. Then, we extend this results when the space variable belongs to a cylindrical domain which control zone is in a section at the border of the cylinder. This cylindrical domain is decomposed into a product of two spaces. On the first, of dimension 1, we apply the results described previously. On the second, we use the Lebeau-Robbiano’s procedure. In this framework, we prove $\phi(h)$ null controllability results on the discretized domain as well as null controllability results on the continous problem.
In another section, we investigate the computation of minimal time of null controllability of Grushin’s equation $\partial_t f – \partial_{xx} f – |x|^{2\gamma} \partial_{yy} f =0$ defined on a rectangular domain which control region is a vertical strip. This problem of control amounts to study a countably infinite family, indexed by the Fourier parameter $n$, of null control problems of parabolic equations, tackled, once again, with the moments method. The latter requires precise estimates on the spectrum of Sturm-Liouville operators. We prove lower bounds on quantities depending on the eigenfunctions of these operators and we study the gap property of their eigenvalues. To tackle control problems addressed in this manuscript, it is crucial that our estimates are uniform with respect to the discretization parameter or the parameter $n$. Spectral theory of these operators is therefore the keystone of this thesis.
Our results are illustrated and complemented by numerical simulations, based on the HUM approach.
–
*Membres du jury :
–
– Karine BEAUCHARD, Professeur, ENS Rennes (Examinatrice)
– Assia BENABDALLAH, Professeur, Aix-Marseille Université (Examinatrice)
– Franck BOYER, Professeur, Université Paul Sabatier (Directeur)
– Nicolae CINDEA, Maître de conférence, Université Clermont Auvergne (Examinateur)
– Enrique FERNÁNDEZ-CARA, Professeur, Universidad de Sevilla (Rapporteur)
– Otared KAVIAN, Professeur, Université de Versailles (Examinateur)
– Morgan MORANCEY, Maître de conférence, Aix-Marseille Université (Directeur)
– Yannick PRIVAT, Professeur, Université de Strasbourg (Rapporteur)
–
Webpage« >Webpage
–
(lien à venir)
–
Liens :
– theses.fr
– Fiche de l’ED184
Catégories