Éviter les carrés additifs sur ℤ²

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Date(s) - 21/03/2017
13 h 00 min - 14 h 00 min

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Les résultats de Thue en 1906-1912 ont initié l’étude de l’évitabilité des motifs dans les mots. C’est Erdös en 1957 qui souleva le cas des répétitions abéliennes :
est-il possible d’éviter les carrés abéliens (deux facteurs consécutifs qui sont permutations l’un de l’autre) dans les mots infinis sur 4 lettres?
Keränen répondit positivement en 1992 en construisant explicitement un tel mot par morphisme. Erdös demanda aussi s’il est possible d’éviter les longs carrés sur l’alphabet binaire et Entringer, Jackson et Schatz donnèrent une réponse positive en 1974.

Mäkelä posa, en 2002, deux questions rappelant les questions d’Erdös et concernant l’évitabilité des longs carrés (resp., cubes) abéliens sur l’alphabet ternaire (resp., binaire).

Je présenterai une technique pour décider si un mot morphique évite les répétitions abéliennes (et certaines généralisations). Cette technique permet de prouver certains nouveaux résultats d’évitabilité. En particulier nous répondons à la version faible d’une question de Mäkelä et montrons que les carrés additifs sont évitables sur ℤ². Ce dernier résultat peut se reformuler en disant qu’il existe une séquence infinie sur un ensemble fini de ℤ² qui ne contient pas deux blocs consécutifs ayant la même longueur et la même somme. Ces résultats sont basés sur un travail avec Michaël Rao.

http://perso.ens-lyon.fr/matthieu.rosenfeld/

Olivier CHABROL
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