Exceptional trajectories in the symbolic dynamics of multidimensional continued fraction algorithms

Mélodie Andrieu
I2M, Aix-Marseille Université
/user/melodie.andrieuEstevez/

Date(s) : 23/03/2021   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Ce travail s’inscrit dans l’étude des systèmes dynamiques symboliques engendrés par les algorithmes de fractions continues multidimensionnelles. Nous détectons puis étudions des familles de systèmes associées à des directions « mal approximées ».

Pour ce faire, nous introduisons un semi-algorithme fondé sur l’exploration d’un automate, ou plutôt, d’une famille d’automates en construction, dont les états contiennent toute l’information sur le déséquilibre des mots d’un système S-adique. Ce semi-algorithme peut être détourné afin de conjecturer des majorants pour l’ensemble des déséquilibres des mots du système ou, lorsque ceux-ci ne sont pas bornés, pour comprendre d’où proviennent les grands déséquilibres. Nous utilisons cet outil pour identifier une famille de mots C-adiques (i.e. les mots associés à l’algorithme de fraction continue de Cassaigne-Selmer) dont le déséquilibre n’est pas borné, à partir de laquelle nous construisons un mot C-adique de déséquilibre infini. Plus remarquables encore, nous construisons des mots d’Arnoux-Rauzy et des mots C-adiques dont le fractal de Rauzy n’est borné dans aucune direction du plan : ce résultat contredit l’intuition donnée par le théorème d’Oseledets sur les exposants de Lyapounov.

D’autre part, nous proposons une définition topologique du codage naturel de rotation minimale du tore en dimension d, inspirée de l’article originel de Rauzy sur le mot de Tribonacci. Sous l’axiome du choix, nous complétons le pseudo-domaine fondamental, tout en préservant l’échange de morceaux et, sous une forme affaiblie, la continuité du codage. Grâce à cette définition, la propriété d’être codage naturel est préservée par induction et son processus réciproque : l’exduction. Nous montrons qu’alors, (1) aucun mot dendrique uniformément récurrent de déséquilibre infini n’est un codage naturel de rotation minimale du tore, pour un domaine fondamental borné ; (2) le fait d’être ou non un codage naturel, pour un mot d’Arnoux-Rauzy et un mot C-adique, dépend uniquement du comportement asymptotique de la suite directrice.

Lien Zoom : https://univ-amu-fr.zoom.us/j/98106380073?pwd=ZUtnMWdhZjJpdmc3czZmcS8xSkEydz09

 

Emplacement
Site Sud, Luminy, TPR2, Salle de Séminaire 304-306 (3ème étage)

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