Exceptional trajectories in the symbolic dynamics of multidimensional continued fraction algorithms

Le jury sera composé de :

• Pierre Arnoux (co-directeur de thèse)
  
• Valérie Berthé
• Julien Cassaigne (directeur de thèse)
  
• Karma Dajani
• Fabien Durand
• Thomas Fernique
• Anna Frid
• Michel Rigo

Résumé

Ce travail s’inscrit dans l’étude des systèmes dynamiques symboliques engendrés par les algorithmes de fractions continues multidimensionnelles. Nous détectons puis étudions des familles de systèmes associées à des directions « mal approximées ».

Pour ce faire, nous introduisons un semi-algorithme fondé sur l’exploration d’un automate,

ou plutôt, d’une famille d’automates en construction, dont les états contiennent toute l’information sur le déséquilibre des mots d’un système S-adique. Ce semi-algorithme peut être détourné afin de conjecturer des majorants pour l’ensemble des déséquilibres des mots du système ou, lorsque ceux-ci ne sont pas bornés, pour comprendre d’où proviennent les grands déséquilibres. Nous utilisons cet outil pour identifier une famille de mots C-adiques (i.e. les mots associés à l’algorithme de fraction continue de Cassaigne-Selmer) dont le déséquilibre n’est pas borné, à partir de laquelle nous construisons un mot C-adique de déséquilibre infini. Plus remarquables encore, nous construisons des mots d’Arnoux-Rauzy et des mots C-adiques dont le fractal de Rauzy n’est borné dans aucune direction du plan : ce résultat contredit l’intuition donnée par le théorème d’Oseledets sur les exposants de Lyapounov.

D’autre part, nous proposons une définition topologique du codage naturel de rotation minimale

du tore en dimension d, inspirée de l’article originel de Rauzy sur le mot de Tribonacci. Sous

l’axiome du choix, nous complétons le pseudo-domaine fondamental, tout en préservant l’échange de morceaux et, sous une forme affaiblie, la continuité du codage. Grâce à cette définition, la propriété d’être codage naturel est préservée par induction et son processus réciproque : l’exduction. Nous montrons qu’alors, (1) aucun mot dendrique uniformément récurrent de déséquilibre infini n’est un codage naturel de rotation minimale du tore, pour un domaine fondamental borné ; (2) le fait d’être ou non un codage naturel, pour un mot d’Arnoux-Rauzy et un mot C-adique, dépend uniquement du comportement asymptotique de la suite directrice.

Abstract

This thesis takes place in the general study of multidimensional continued fraction algorithms from the standpoint of the symbolic dynamical systems they generate. We detect and study families of systems associated with poorly approximated directions.

On one hand, we develop a semi-algorithm consisting of an automaton, or rather, an ever-building family of automata, whose states contain all the information on the imbalances of the words belonging to a S-adic system. In particular, this semi-algorithm can be used as an exploration tool, giving strong intuitions for an upper bound for the imbalances of words in the system; or, when no such bound exists, helps in understanding where the imbalance grows. Thanks to this tool, we spot families of C-adic words (the class of words associated with Cassaigne-Selmer multidimensional continued fraction algorithm) with arbitrary high imbalances; from which we construct a C-adic word with infinite imbalance. Much stronger: we construct Arnoux-Rauzy and C-adic words whose Rauzy fractals are unbounded in all directions of the plane. This result is conflicting with the intuition given by the Oseledets theorem on Lyapunov exponents.

On another hand, we introduce and discuss a topological definition of natural coding of a minimal rotation on the d-dimensional torus, inspired by the seminal works of Rauzy on the Tribonacci word. In particular, under the axiom of choice, it is possible to wisely complete the pseudo-fundamental domain of the torus into a fundamental domain, while preserving the property of piecewise translation and a weak form of sequential continuity. Under this good definition, being a natural coding of a minimal rotation of the d-torus passes through induction and its reverse process: exduction. As a consequence, (1) no uniformly recurrent tree word with infinite imbalance is a natural coding of a minimal rotation of the torus, with bounded fundamental domain; (2) being a natural coding of a minimal rotation of the 2-torus, both for Arnoux-Rauzy and C-adic words, is a property that only depends on the asymptotic behavior of the directive sequence.