Existence et régularité pour des problèmes spectraux

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Date(s) - 31/03/2016
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Dans ce séminaire, nous considérons le problème d’optimisation de forme suivant:

min { F(λ_1(A),…,λ_k(A)) | A ⊆ R^N, |A|=1 },

où λ_k désigne la k-ème valeur propre du Laplacien avec conditions de Dirichlet et |⋅| la mesure de Lebesgue N-dimensionnelle. Nous allons d’abord montrer comment prouver, avec des techniques de « chirurgie spectrale », l’existence d’un domaine optimal pour le problème ci-dessus dans la classe des ensembles quasi-ouverts (si F est semi-continue inférieurement et croissante dans toutes les variables), en généralisant ainsi un résultat de Buttazzo et Dal Maso. De plus, nous verrons comment les méthodes de « chirurgie » peuvent être utilisées lorsque une contrainte de périmètre est ajoutée. En particulier, nous voulons modifier géométriquement un ensemble ouvert de sorte que les k premières valeurs propres du Laplacien-Dirichlet et son périmètre ne soient pas augmentés, que sa mesure reste constante, et que le diamètre diminue en dessous d’un certain seuil.
À la fin, nous allons discuter de la régularité des fonctions propres sur les domaines optimaux et nous montrerons, pour une classe très particulière de fonctionnelles, parmi lesquelles λ_1+…+λ_k, que les ensembles optimaux sont en fait ouverts.

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