Existence et régularité pour des problèmes spectraux




Date(s) : 31/03/2016   iCal
14 h 00 min - 15 h 00 min

Dans ce séminaire, nous considérons le problème d’optimisation de forme suivant:

min { F(λ_1(A),…,λ_k(A)) | A ⊆ R^N, |A|=1 },

où λ_k désigne la k-ème valeur propre du Laplacien avec conditions de Dirichlet et |⋅| la mesure de Lebesgue N-dimensionnelle. Nous allons d’abord montrer comment prouver, avec des techniques de “chirurgie spectrale”, l’existence d’un domaine optimal pour le problème ci-dessus dans la classe des ensembles quasi-ouverts (si F est semi-continue inférieurement et croissante dans toutes les variables), en généralisant ainsi un résultat de Buttazzo et Dal Maso. De plus, nous verrons comment les méthodes de “chirurgie” peuvent être utilisées lorsque une contrainte de périmètre est ajoutée. En particulier, nous voulons modifier géométriquement un ensemble ouvert de sorte que les k premières valeurs propres du Laplacien-Dirichlet et son périmètre ne soient pas augmentés, que sa mesure reste constante, et que le diamètre diminue en dessous d’un certain seuil.
À la fin, nous allons discuter de la régularité des fonctions propres sur les domaines optimaux et nous montrerons, pour une classe très particulière de fonctionnelles, parmi lesquelles λ_1+…+λ_k, que les ensembles optimaux sont en fait ouverts.

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