Fonctions de Hardy des fonctions L de Dirichlet

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Date(s) - 12/05/2015
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Dans cet exposé, nous étudions les fonctions de Hardy des fonctions L de Dirichlet. La fonction de Hardy Z(t, χ) liée à la fonction L de Dirichlet L(s, χ) est une fonction à valeurs réelles de la variable réelle t dont les zéros correspondent exactement aux zéros de L(s, χ) sur la droite critique Rs = ½ ; en effet, on a |Z(t, χ)| = |L(½+it, χ)| pour tout t ∈ R. Nous étudions sa primitive F(T, χ) ≝ ∫₀^T Z(t, χ) dt.
L’étude asymptotique de la fonction de Hardy liée à la fonction ζ de Riemann a connu récemment un regain d’activité grâce à Ivíc [Ivíc(2004)] qui a montré entre autres la majoration F(T) = O(T^{¼+ε}) et a conjecturé le comportement F(T) = Ω±(T^¼). Cette dernière conjecture a été démontrée par Korolëv [Korolëv(2007)], qui a également exhibé un comportement surprenant de F(T) ; en effet, il montre que F(T) peut être approchée asymptotiquement par une fonction étagée périodique qui prend des valeurs positives et négatives. Ensuite, Jutila [Jutila(2009)] a donné une démonstration indépendante de ces résultats, avec un traitement plus uniforme de l’approximation et des termes d’erreur. Il montre d’abord une formule de type Atkinson pour F(T) par le biais de la transformée de Laplace et en déduit les résultats de Korolëv. En suivant Jutila, nous étendons ces résultats aux fonctions L de Dirichlet, et nous montrons également que le comportement de F(T, χ) dépend notamment de la parité de χ et celle du conducteur.

Olivier CHABROL
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