Date(s) : 11/06/2018 iCal
13 h 30 min - 15 h 00 min
Soutenance de thèse
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Cette thèse porte sur les fronts de transition pour des équations de réaction-diffusion dans différents milieux. Les fronts de transition généralisent les notions habituelles de fronts progressifs ou pulsatoires. Les principaux résultats peuvent être divisés en trois parties.
La première partie des résultats concerne les fronts dans RN , pour trois types de réaction : bistable homogène, bistable périodique en temps et combustion. Pour des réactions bistables, nous prouvons la monotonie en temps de tous les fronts de transition avec vitesse globale moyenne non nulle, quelle que soit la forme des ensembles de niveau. Pour des réactions bistables périodiques en temps ou pour des réactions de type combustion, nos prouvons l’existence et l’unicité de la vitesse globale moyenne d’un front, indépendamment du front lui-même et de la forme de ses ensembles de niveau. De plus, nous montrons que les fronts plans peuvent être caractérisés dans la famille plus grande des fronts presque plans. Enfin, nous montrons l’existence de nouveaux types de fronts qui ne sont pas des fronts progressifs usuels.
La seconde partie porte sur des équations de réaction-diffusion bistables périodiques en espace dans RN. Sous l’hypothèse qu’il existe des fronts pulsatoires de vitesse non nulle dans chaque direction e, nous montrons des propriétés de continuité et de différentiabilité des vitesses et des profils de ces fronts pulsatoires par rapport à la direction e. Ensuite, nous prouvons que la vitesse de propagation d’un front de transition quelconque est comprise entre les vitesses minimales et maximales des fronts pulsatoires.
La troisième partie traite des vitesses globales moyennes des fronts de transition bistables dans des domaines non bornés Ω qui sont ou bien des complémentaires de compacts ou bien des domaines à branches multiples cylindriques. Dans les domaines extérieurs, nous montrons que les fronts de transition avec propagation complète ont une vitesse globale moyenne, égale à la vitesse des fronts plans dans RN. Dans des domaines avec branches multiples cylindriques, nous montrons que les solutions provenant de fronts plans dans une partie des branches sont bien des fronts de transition, et qu’ils convergent vers des fronts plans dans les autres branches, dès lors que la propagation est complète. En supposant la propagation complète de toutes les solutions provenant des fronts plans dans chacune des branches, nous prouvons finalement l’existence et l’unicité de la vitesse globale moyenne de tous les fronts de transition. Enfin, à la fois pour les domaines extérieurs et les domaines avec branches multiples cylindriques, nous donnons des conditions géométriques et d’échelle pour que tous les fronts de transition aient bien une vitesse globale moyenne, égale à la vitesse des fronts plans.
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{{Mots clés :}} équations de réaction-diffusion, fronts pulsatoires, fronts de transition, vitesse de propagation, domaines extérieurs, domaines avec branches multiples cylindriques.
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{{Abstract:}} This dissertation is concerned with transition fronts in various media, which generalize the standard notions of traveling fronts. The main results can be divided into three parts.
The first part of results is on three types of reactions in RN: bistable reaction, time- periodic bistable reaction and combustion-type reaction. For bistable reaction, we prove the time monotonicity of all transition fronts with non-zero global mean speed, whatever shape their level sets may have. For time-periodic bistable reaction and combustion-type reaction, we prove the existence and the uniqueness of the global mean speed which is independent of the shape of the level sets of the fronts. Meantime, we show that the planar fronts can be characterized in the more general class of almost-planar fronts. Finally, we show the existence of new types of transitions fronts in RN which are not standard traveling fronts.
The second part of results is on spatially periodic bistable reaction-diffusion equations. Under the assumption that there exist pulsating fronts with nonzero speed in all directions e, we show some continuity and differentiability properties of the front speeds and profiles with respect to the direction e. Then, we prove that the propagating speed of any transition front is larger than or equal to the minimal speed of pulsating fronts and less than or equal to the maximal speed of pulsating fronts.
The third part of results is on the mean speed of bistable transition fronts in unbounded domains Ω: exterior domains and domains with multiple cylindrical branches. In exterior domains, we prove that any transition front with complete propagation has a unique global mean speed equal to the planar speed cf in the homogeneous case. In domains with multiple cylindrical branches, we show that the front-like solutions emanating from planar fronts in some branches are transition fronts and converge to the planar fronts in the other branches, provided that the propagation is complete. By assuming the complete propagation of the front-like solutions emanating from each of the branches, we prove the existence and unique- ness of the global mean speed. In both cases, we especially give some sufficient geometrical and scaling conditions on Ω for transition fronts to have a global mean speed equal to {cf} .
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{{Keywords:}} reaction-diffusion equations, pulsating fronts, transition fronts, propagating speed, exterior domains, domains with multiple cylindrical branches.
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*Membres du jury :
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– M. François HAMEL – Professeur, Aix-Marseille Université – Directeur de thèse
– Mme Mariana HARAGUS, Université de Franche-Comté
– M. Yuan LOU, Ohio State University – Rapporteur
– M. Hirokazu NINIMIYA, Meiji University – Rapporteur
– M. Benoît PERTHAME, Sorbonne Université et Académie des Sciences
– M. Luca ROSSI, EHESS
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Liens :
– theses.fr
– Fiche de l’ED184
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