Géométrie de l’arithmétique statistique des groupes de Galois

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Date(s) - 20/03/2018
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Le domaine de l’arithmétique statistique concerne le comportement asymptotique, probabiliste, et statistique des objets en théorie des nombre en familles.
Des exemples de familles sont des familles de variétés, de polynômes (irreductibles avec groupe de Galois donné) ou de sommes de caractères.

L’objet derrière ces statistiques est le groupe de Galois absolu $\GalQQ$, qui est un groupe profini — déterminé comme limite de ses quotients finis.
Ici, on s’intéresse précisement aux représentations de ces quotients finis.
Precisément, on part du problème suivant: Soit donné un polynôme irreductible $f(x)$ de degré $n$ dans $\ZZ[x]$. On associe, pour presque tout premier $p$, une partition $(d_1,\dots,d_t)$, o˘ $d_1 + \cdots + d_t = n$, de degrés $d_i$ des polynômes dans la factorization de $f(x) \bmod p$ dans $\FF_p[x]$.

On interprète les propriétés de cette fonction $p \mapsto (d_1,\dots,d_t)$ comme étude des représentations du groupe $\GalQQ$. En partant des représentations orthogonales, et passant par sa restriction aux groupes finis, on détermine des parametrisations des anneaux de caractères associés à ces représentations.
On exprime les relations d’orthogonalité provenant de la mesure de Haar, en termes de l’arithmétique statistique. Finalement, on en déduit des algorithmes pour caractériser le groupe de Galois et déterminer l’équivalence des représentations finies du groupe $\GalQQ$.

Cette étude est motivée par un travail commun avec Gilles Lachaud et Yih-Dar Shieh sur les groupes orthogonaux, et une question de Fernando Villegas–Rodriguez sur l’application au cas des groupes finis.

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Olivier CHABROL
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