Grand crible, version analytique

Date(s) : 02/03/2017   iCal
14 h 00 min - 15 h 00 min

Nous mettrons en place trois inégalités fondamentales de grand crible.
La première

$\backslash sum\_\{q\backslash leq\; Q\}\backslash sum\_\{a\; \backslash pmod\{q\}^*\}|\backslash sum\_\{n\backslash leq\; N\}\backslash varphi\_n\; e(na/q)|^2\; \backslash leq$
\sum_{n\leq N}|\varphi_n|^2 (N+Q^2),

puis

$\backslash sum\_\{q\backslash le\; Q\}(q/\backslash phi(q))\backslash sum\_\{\backslash chi\backslash mod^*q\}|\backslash sum\_\{n\backslash le\; N\}\backslash varphi\_n$
\chi(n)|^2\le
\sum_{n\le N}|\varphi_n|^2 (N+Q^2),

et enfin

$\backslash sum\_\{q\backslash le\; Q\}(q/\backslash phi(q))\backslash sum\_\{\backslash chi\backslash mod^*q\}\backslash int\_\{-T\}^T\; |\backslash sum\_\{n\backslash le$
N}\varphi_n \chi(n)/n^{it}|^2dt\le
7\sum_{n\le N}|\varphi_n|^2 (n+Q^2 \max(T,3))

Nous démontrerons une forme plus faible de la première inégalité avec O(Q^2(1+\log Q)) pour la première inégalité, en passant par une inégalité hermitienne. La seconde inégalité sera une conséquence de la première et d’un lemme de Gallagher et la troisième suivra des deux précédentes via une approche encore due à Gallagher. Ce petit marathon ne nous donnera pas loisir d’étudier des applications, lesquelles seront abordées dans d’autres exposés.

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