Grand crible, version analytique

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Date(s) - 02/03/2017
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Nous mettrons en place trois inégalités fondamentales de grand crible.
La première

\sum_{q\leq Q}\sum_{a \pmod{q}^*}|\sum_{n\leq N}\varphi_n e(na/q)|^2 \leq
\sum_{n\leq N}|\varphi_n|^2 (N+Q^2),

puis

\sum_{q\le Q}(q/\phi(q))\sum_{\chi\mod^*q}|\sum_{n\le N}\varphi_n
\chi(n)|^2\le
\sum_{n\le N}|\varphi_n|^2 (N+Q^2),

et enfin

\sum_{q\le Q}(q/\phi(q))\sum_{\chi\mod^*q}\int_{-T}^T |\sum_{n\le
N}\varphi_n \chi(n)/n^{it}|^2dt\le
7\sum_{n\le N}|\varphi_n|^2 (n+Q^2 \max(T,3))

Nous démontrerons une forme plus faible de la première inégalité avec O(Q^2(1+\log Q)) pour la première inégalité, en passant par une inégalité hermitienne. La seconde inégalité sera une conséquence de la première et d’un lemme de Gallagher et la troisième suivra des deux précédentes via une approche encore due à Gallagher. Ce petit marathon ne nous donnera pas loisir d’étudier des applications, lesquelles seront abordées dans d’autres exposés.

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Olivier CHABROL
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