Grandes déviations dans des modèles de biologie et des épidémies

Le président du jury était Arnaud Debussche.

Le jury était composé de Michèle Thieullen, Modeste N’Zi, Michael Kopp, Fabienne Castell.

Les rapporteurs étaient Christian Léonard.

Résumé

Nous nous intéressons au principe de grandes déviations pour des processus markoviens à sauts purs. Nous démontrons par une nouvelle approche la borne inférieure du principe de grandes déviations et réécrivons la borne supérieure bien qu’étant déjà standard. Nous appliquons ces résultat de grandes déviations à un modèle de transmission de la malaria en zone endémique et estimons le temps de sortie du bassin d’attraction d’un équilibre endémique. De nouveau nous appliquons cette approche pour obtenir un principe de grandes déviations pour un modèle en biologie de l’évolution qui décrit l’effet du changement continu de notre environnement sur la fitness d’une population donnée. Nous montrons que nous pouvons obtenir la borne inférieure des grandes déviations pour certains ensembles ouverts. Nous terminons par un modèle déterministe et spatiale de transmission du choléra en zone endémique. Nous proposons une modélisation stochastique et démontrons un résultat type loi des grands nombres. Nous établissons par la suite des estimées de grandes déviations

Large deviations and applications in biology and epidemiology

We are interested in large deviations principle for Markov jump processes and it applications in biology and Eepidemiology. We prove using a new approach the lower bound of the large deviations principle for such general processes and we also write the well known upper bound. We apply these result to a malaria transmission model in epidemiology and give estimate to the exit time from the domain of attraction of the endemic equilibrium. We also apply the approach to obtain large deviations estimates for a model of evolutionary biology which describes the effect of continuous environment changes on the fitness of a given population. Finally we treat a deterministic spatially explicit model of cholera epidemics, propose a stochastic modelling and establish a law of large number. We end by giving large deviations estimates for the stochastic process.