Brice Samegni-Kepgnou
I2M, Aix-Marseille Université
Date(s) : 13/07/2017 iCal
13 h 30 min - 15 h 30 min
Soutenance de thèse
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Dans les années 70 et 80, Freidlin et Wentzell ont ouvert un nouveau chapitre de la théorie des grandes déviations, en étudiant les petites perturbations browniennes d’EDO.
Ils montrent que tôt ou tard ces petites perturbations font sortir la solution du bassin d’attraction de n’importe quel équilibre stable de l’EDO. Ils donnent une évaluation du temps qu’il faut pour que cela se produise, et décrivent les trajectoires de sortie les plus probables.
Les modèles stochastiques des épidémies sont des EDS poissoniennes, qui, dans le cas d’une grande population, peuvent être considérés comme des petites perturbations des l’EDO qui constituent leurs loi des grands nombres limites.
Le but de cette thèse est de développer la théorie de Freidlin-Wentzell pour ces modèles des épidémies, afin de prédire le temps mis par les perturbations aléatoires pour éteindre une situation endémique « stable ».
Tout d’abord nous proposons une nouvelle démonstration plus courte par rapport à celle établit récemment (sous une hypothèse un peu différente, mais satisfaite dans tous les exemples de modèles de maladie infectieuses que nous avons à l’esprit) par Kratz et Pardoux (2017) sur le principe de grandes déviations pour les modèles des épidémies. Ce travail qui fait l’objet du chapitre 1 de cette thèse est accepté pour publication dans le « Journal of Applied Probability ». Ensuite nous établissons un principe de grandes déviations pour des EDS poissoniennes réfléchies au bord d’un ouvert suffisamment régulier. Les arguments sont proches de ceux du chapitre 1. Une partie des résultats du chapitre 1 s’appuie sur un ancien papier de P. Dupuis et al (1991) qui traite de processus de Markov assez généraux. Ici par contre on doit re-démontrer cette partie du résultat. Dans le chapitre 3, nous établissons un résultat concernant la zone du bord la plus probable par laquelle le processus solution de l’EDS de Poisson va sortir du domaine d’attraction d’un équilibre stable de sa loi des grands nombres limite. Comme dans le travail classique de Martin Day (1990) pour les systèmes browniens, on utilise le résultat du chapitre 2 pour établir ceux du chapitre 3. Nous terminons cette thèse par la présentation des méthodes « non standard aux différences finis », appropriés pour approcher numériquement les solutions de nos EDOs ainsi que par la résolution d’un problème de contrôle optimal qui permet d’avoir une bonne approximation du temps d’extinction d’un processus d’infection.
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*Membres du jury :
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– Fabienne Castell (Examinatrice)
– Nicolas Champagnat (Rapporteur)
– Christian Léonard (Rapporteur)
– Etienne PARDOUX (Directeur de thèse)
– Gael Raoul (Examinateur)
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Lien : theses.fr
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