Homologie, le HDVF et les mesures géométriques des trous

Aldo Gonzalez-Lorenzo
LSIS, Aix-Marseille Université
http://aldo.gonzalez-lorenzo.perso.luminy.univ-amu.fr

Date(s) : 20/03/2017   iCal
14 h 00 min - 15 h 00 min

La théorie de l’homologie formalise la notion de trou dans un espace. Pour un sous-ensemble de l’espace Euclidien, on définit une séquence de groupes d’homologie, dont leurs rangs sont interprétés comme le nombre de trous de chaque dimension. Ainsi, β₀ (le rang du groupe d’homologie de dimension zéro) est le nombre de composantes connexes, β₁ est le nombre de tunnels ou anses et β₂ est le nombre de cavités. Ces groupes sont calculables quand l’espace est décrit d’une façon combinatoire, comme c’est le cas pour les complexes simpliciaux ou cubiques. À partir d’un objet discret (un ensemble de pixels, voxels ou leur analogue en dimension supérieure) nous pouvons construire un complexe cubique et donc calculer ses groupes d’homologie.

Dans cette présentation je parlerai de deux approches relatives au calcul de l’homologie sur des objets discrets. Primo, je présenterai le champ de vecteurs discret homologique, une structure combinatoire qui permet de calculer les groupes d’homologie. Secundo, je présenterai deux mesures (l’épaisseur et la largeur) associées aux trous d’un objet discret, ce qui permet d’obtenir une signature topologique et géométrique plus intéressante que les simples nombres de Betti.

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