Homologie, le HDVF et les mesures géométriques des trous

Aldo Gonzalez-Lorenzo
LIS, Aix-Marseille Université
https://pageperso.lis-lab.fr/aldo.gonzalez-lorenzo/

Date(s) : 28/02/2017   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

La théorie de l’homologie formalise la notion de trou dans un espace. Pour un sous-ensemble de l’espace Euclidien, on définit une séquence de groupes d’homologie, dont leurs rangs sont interprétés comme le nombre de trous de chaque dimension. Ainsi, β0 (le rang du groupe d’homologie de dimension zéro) est le nombre de composantes connexes, β₁ est le nombre de tunnels ou anses et β2 est le nombre de cavités. Ces groupes sont calculables quand l’espace est décrit d’une façon combinatoire, comme c’est le cas pour les complexes simpliciaux ou cubiques. À partir d’un objet discret (un ensemble de pixels, voxels ou leur analogue en dimension supérieure) nous pouvons construire un complexe cubique et donc calculer ses groupes d’homologie.

Dans cette présentation je parlerai de deux approches relatives au calcul de l’homologie sur des objets discrets. Primo, je présenterai le champ de vecteurs discret homologique, une structure combinatoire qui permet de calculer les groupes d’homologie. Secundo, je présenterai deux mesures (l’épaisseur et la largeur) associées aux trous d’un objet discret, ce qui permet d’obtenir une signature topologique et géométrique plus intéressante que les simples nombres de Betti.

Homology, HDVF and geometric measurements of holes

The theory of homology formalizes the notion of a hole in a space. For a subset of Euclidean space, we define a sequence of homology groups, whose ranks are interpreted as the number of holes in each dimension. Thus, β0 (the rank of the zero dimensional homology group) is the number of connected components, β₁ is the number of tunnels or handles and β2 is the number of cavities. These groups are computable when the space is described in a combinatorial way, as is the case for simplicial or cubic complexes. From a discrete object (a set of pixels, voxels or their analog in higher dimension) we can build a cubic complex and therefore calculate its homology groups.
In this presentation I will talk about two approaches relating to the computation of homology on discrete objects. First, I will present the homological discrete vector field, a combinatorial structure which allows to compute homology groups. Second, I will present two measures (the thickness and the width) associated with the holes of a discrete object, which allows to obtain a topological and geometric signature more interesting than the simple Betti numbers.

 

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