Irene CASSELI – Eléments sur la transformée de Berezin et sur les opérateurs de Toeplitz dans des espaces de fonctions polyanalytiques

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Date(s) - 10/12/2019
11 h 00 min - 13 h 00 min

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Soutenance de thèse


Eléments sur la transformée de Berezin et sur les opérateurs de Toeplitz dans des espaces de fonctions polyanalytiques
Les fonctions polyanalytiques entières généralisent les fonctions entières dans la mesure où elles sont les solutions sur le plan complexe $\mathbb{C}$ de l’équation de Cauchy-Riemann à l’ordre $n$, de la forme ${\partial}^n f / \partial \overline{z}^n = 0$. Un espace de Fock polyanalytique $F^2_{\alpha,n}$ est, par analogie avec le cas classique, le sous-espace fermé de l’espace de Hilbert $L^2(\mathbb{C},d\mu_\alpha)$, où $\mu_\alpha$ est une mesure de probabilité gaussienne sur $\mathbb{C}$ de paramètre $\alpha>0$, formé des fonctions polyanalytiques entières d’ordre $n$.

L’objet de cette thèse est l’étude d’éléments classiques de la théorie des opérateurs tels que la transformée de Berezin et les opérateurs de Toeplitz dans le cadre particulier des espaces de Fock polyanalytiques. Dans ce manuscrit, il est montré en particulier que les points fixes de la transformée de Berezin qui appartiennent aux espaces de Lebesgue sont les fonctions nulles ou \’eventuellement constantes. Concernant les opérateurs de Toeplitz, le problème de Sarason est éetudié. Etant donnée une fonction $f$, l’opérateur de Toeplitz de symbole $f$ est formellement défini par $T^{\alpha,n}_f(h)=P_{\alpha,n}(f h)$, où $P_{\alpha,n}$ est la projection orthogonale de $L^2(\mathbb{C},d\mu_{\alpha})$ sur $F^2_{\alpha,n}$. Le problème de Sarason consiste à donner une condition nécessaire et suffisante sur $f$ et $g$ pour que le produit d’opérateurs de symboles $f$ et $\bar g$ soit continu.

Part of the Berezin transform and Toeplitz operator study in polyanalytic function spaces
Entire polyanalytic functions generalize entire functions in that they are solutions of “Cauchy-Riemann equations of order $n$”, of the form ${\partial}^n f / \partial \overline{z}^n = 0$, over the whole complex plane $\mathbb{C}$. Polyanalytic Fock space $F^2_{\alpha,n}$ is, by analogy with the classical case, the closed subspace of the Hilbert space $L^2(\mathbb{C},d\mu_\alpha)$, where $\mu_\alpha$ is a Gaussian probability measure over $\mathbb{C}$ with weight $\alpha>0$, of polyentire functions of order $n$.

The aim of this PhD thesis is the study of classical objects of operator theory such that the Berezin transform and Toeplitz operators in the particular case of polyanalytic Fock spaces. In this written, it is shown among other results, that the $L^p$ fixed points of the Berezin transform are constant functions. Concerning Toeplitz operators, the Sarason problem is studied. Given a function $f$, the Toeplitz operator with symbol $f$ is formally defined by $T^n_f(h)=P_{F^2_n}(f h)$, where $P_{F^2_n}$ is the orthogonal projection from $L^2(\mathbb{C},d\mu)$ onto $F^2_n$. The so-called Sarason’s problem consists in finding necessary and sufficient conditions on the symbols $f$ and $g$ for the Toeplitz product with symbols $f$ and $\bar g$ to be bounded in the Fock space.

*Membres du jury :


– Karim KELLAY, Université de Bordeaux (Rapporteur)
– Emmanuel MAZZILLI, Université Lille 1 (Rapporteur)
– Alexander BORICHEV, I2M, Université d’Aix-Marseille (Examinateur)
– Miroslav ENGLIS, Université de Prague (Examinateur)
– Emmanuel FRICAIN, Université Lille 1 (Examinateur)
– Elisabeth STROUSE, Université de Bordeaux (Examinateur)
– Stéphane RIGAT, I2M, Université d’Aix-Marseille (Directeur de thèse)
– El-Hassan YOUSSFI, I2M, Université d’Aix-Marseille (Directeur de thèse)

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Liens :
theses.fr
Fiche de l’ED184

Olivier CHABROL
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