Remarques et questions sur les valeurs des sommes ergodiques d’une fonction à valeur entière

Jean-Pierre Conze
IRMAR, Université Rennes I
https://perso.univ-rennes1.fr/jean-pierre.conze/

Date(s) : 22/10/2019   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Soient (X, {B}, μ, T) un système dynamique ergodique et {f} une fonction mesurable à valeurs dans {{Z}}d.
Si Λ est un sous-ensemble infini de {{Z}}d, on peut poser la question des passages dans Λ du processus des sommes ergodiques
S{n}{f}({x}): = Σk = 0{n}-1{f}(Tk{x}), {n}≥1, {x}∊X.
Cette question conduit à revisiter certains résultats et à reposer des questions anciennes.

Par exemple, pour d = 1, on peut estimer le nombre de visites avant le temps N dans l’ensemble des carrés dans {{Z}}, lorsque {f} est intégrable et μ({f}) ≠ 0 (conséquence d’un résultat de J. Bourgain (1989)).
L’ensemble {S{n}{f}({x}), {n}≥1} contient une infinité de carrés pour presque tout x.
Mais dans le cas intégrable centré, pour un ensemble donné Λ⊆{{Z}}d à “gaps” non bornés, il existe {f} engendrant un cocycle “non régulier” au dessus d’une rotation irrationnelle tel que {S{n}{f}({x}), {n}≥1} ∩ Λ = ∅.

Une autre question, qui est liée au problème des valeurs du cocycle, est celle du mélange du flot spécial quand {f}≥1 est la fonction plafond.

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