L’inégalité de Brun-Titchmarsh

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Date(s) - 08/11/2016
11 h 05 min - 12 h 00 min

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Étant donné une longueur d’intervalle N, le nombre maximal de nombres premiers ρ(N) qui sont dans un intervalle de longueur N est une quantité majeure déjà étudiée par Hardy & Littlewood en 1922. L’inégalité de Brun-Titchmarsh dans la forme due à Montgomery & Vaughan en 1973 nous garantit la borne supérieure ρ(N)≤2N/Log N pour ρ(N) ; La première question ouverte est de savoir si ce facteur 2 est optimal ou non. Une borne similaire est valable pour les progressions arithmétiques et il est connu que diminuer ce facteur 2 est équivalent à montrer qu’il n’y a pas de zéro de Siegel, ou, de façon équivalente, qu’il y a suffisamment de petits nombres premiers qui se décomposent dans une des extensions quadratiques.

Cet exposé présente un historique du sujet et conclura par un résultat nouveau.
À partir d’une inégalité fonctionnelle qui mélange la crible de Selberg et le grand crible, nous démontrons avec Soroosh Yazdani que ρ(N)≤2N/(Log N+5.66+o(1)). La méthode permet d’imaginer que l’on peut remplacer la constante 5.66 par un nombre aussi grand que l’on souhaite.

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