L’inégalité de Brun-Titchmarsh

Olivier Ramaré
I2M, CNRS, Marseille
/user/olivier.ramare/

Date(s) : 08/11/2016   iCal
11 h 05 min - 12 h 00 min

Étant donné une longueur d’intervalle N, le nombre maximal de nombres premiers ρ(N) qui sont dans un intervalle de longueur N est une quantité majeure déjà étudiée par Hardy & Littlewood en 1922. L’inégalité de Brun-Titchmarsh dans la forme due à Montgomery & Vaughan en 1973 nous garantit la borne supérieure ρ(N)≤2N/Log N pour ρ(N) ; La première question ouverte est de savoir si ce facteur 2 est optimal ou non. Une borne similaire est valable pour les progressions arithmétiques et il est connu que diminuer ce facteur 2 est équivalent à montrer qu’il n’y a pas de zéro de Siegel, ou, de façon équivalente, qu’il y a suffisamment de petits nombres premiers qui se décomposent dans une des extensions quadratiques.

Cet exposé présente un historique du sujet et conclura par un résultat nouveau.
À partir d’une inégalité fonctionnelle qui mélange la crible de Selberg et le grand crible, nous démontrons avec Soroosh Yazdani que ρ(N)≤2N/(Log N+5.66+o(1)). La méthode permet d’imaginer que l’on peut remplacer la constante 5.66 par un nombre aussi grand que l’on souhaite.

Brun-Titchmarsh inequality

Given an interval length N, the maximum number of prime numbers ρ (N) which are in an interval of length N is a major quantity already studied by Hardy & Littlewood in 1922. The Brun-Titchmarsh inequality in the form due to Montgomery & Vaughan in 1973 guarantees us the upper bound ρ (N) ≤2N / Log N for ρ (N); The first open question is whether this factor 2 is optimal or not. A similar bound is valid for arithmetic progressions and it is known that decreasing this factor 2 is equivalent to showing that there is no Siegel zero, or, equivalently, that there are enough small numbers. first which decompose in one of the quadratic extensions.
This presentation presents a history of the subject and will conclude with a new result.
From a functional inequality that mixes the Selberg sieve and the large sieve, we prove with Soroosh Yazdani that ρ (N) ≤2N / (Log N+5.66+o (1)). The method makes it possible to imagine that one can replace the constant 5.66 by as large a number as one wishes.


Slides: https://www.imsc.res.in/~infr2016/talks/ramare.pdf

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