L’irrationalité des cubiques de dimension 3 par leur réduction modulo 3

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Date(s) - 04/04/2017
11 h 00 min - 12 h 00 min

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{{{Une cubique lisse X de dimension 3 est unirationnelle, c’est à dire qu’il existe une application rationnelle dominante f:P^3-> X. Clemens et Griffith ont montré que X (sur \C) est irrationnelle, c’est-à-dire que le degré d’une telle application f est toujours >1, c’était le premier contre-exemple à la conjecture de Lüroth.
La partie difficile de leur preuve est de montrer que la jacobienne intermédiaire de la cubique (une variété abélienne canoniquement associée à X) n’est pas la jacobienne d’une courbe.
Dans cet exposé, je démontrerai à nouveau ce résultat, de manière élémentaire (mais pour une cubique X générique seulement) par réduction modulo p et comptage de points, en utilisant un résultat d’Aubry, Haloui, Lachaud.
Un résultat auxiliaire est l’existence d’une variété abélienne de dimension 5 sur F_3 qui n’est isogène à aucune jacobienne sur la clôture de F_3, existence conjecturée par Chai et Oort.
Il s’agit d’un travail avec Dimitri Markouchevitch. }}}

https://old.i2m.univ-amu.fr/~roulleau.x/Site_Pro/Bienvenue.html


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