La propriété de Liouville par la compression hilbertienne

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Date(s) - 14/04/2014
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Construire un plongement “uniforme” d’un graphe de Cayley dans un espace de Hilbert donne des résultats étonnants sur le groupe (e.g. les travaux de Yu montrent qu’il satisfait la conjecture de Baum-Connes ). Un plongement est uniforme s’il ne grossit ni ne contracte trop les distances: la distance à l’image est bornée supérieurement par une fonction affine et inférieurement par une fonction, dite de compression, de la distance à la source.

Naor et Peres ont montré que si le plongement est équivariant (pour une certaine action du groupe sur l’espace de Hilbert) et que (à des constantes près) la fonction de compression était plus grande que la fonction racine carré, alors la vitesse de fuite de toute marche aléatoire simple est sous-linéaire. Ceci implique que les graphes de Cayley de ce groupe ont la propriété de Liouville (absence de fonctions harmoniques bornées).

Dans cet exposé, j’expliquerai pourquoi il est facile de contrôler et de construire des plongement uniformes équivariants. En utilisant un de ces plongements, défini en terme d’une marche aléatoire, il est possible de voir que si la probabilité de retour de la marche aléatoire simple ne décroît pas trop rapidement, alors tous les graphes de Cayley de ce groupe auront la propriété de Liouville.

Ceci répond partiellement à une ouverte quant à savoir si la propriété de Liouville dépend du choix de l’ensemble générateur (fini!) pour le graphe de Cayley.

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Olivier CHABROL
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