L’obstruction d’Euler et ses généralisations

Hellen Moncao de Carvalho Santana
I2M, Aix-Marseille Université
/user/hellen.moncaoDeCarvalhoSantana/

Date(s) : 10/12/2019   iCal
0 h 00 min

Directeur de thèse : DAVID TROTMAN

http://www.theses.fr/s218312
https://www.researchgate.net/profile/Hellen_Santana4

SOUTENANCE DE THÈSE

Résumé : Soit $f, g : (X, 0)\rightarrow (\mathbb{C}, 0) des germes des fonctions analytiques définies sur un espace analytique complexe $X$. Le nombre de Brasselet d’une fonction $f$ décrit numériquement la topologie de la fibre de Milnor généralisée. Dans cette thèse, nous présentons des formules qui compare les nombres de Brasselet de $f$ dans $X$ et de $f$ restreinte à $X\cap\{g=0\}$ dans le cas où $g$ a un ensemble critique stratifié de dimension un. Si, en plus, $f$ a une singularité isolée à l’origine, nous déterminons le nombre de Brasselet de $g$ dans $X$ et nous le mettons en relation avec le nombre de Brasselet de $f$ dans $X$. Par conséquent, nous obtenons des formules qui permet mesurer l’obstruction locale d’Euler de $X$ e de $X\cap\{g=0\}$ à l’origine, en comparant ces nombres avec des invariants locales associés à $f$ et à $g$. Nous étudions aussi la topologie locale d’une déformation de $g, \tilde{g}=g+f^N$, où $N>>1.$ Nous donnons une relation des nombres de Brasselet de $g$ et $\tilde{g}$ dans $X\cap\{f=0\},$ dans le cas où $f$ a une singularité isolée à l’origine. Nous présentons encore une nouvelle preuve pour la formule de Lê-Iomdine pour le nombre de Brasselet.

Mots clés :

  • L’obstruction d’Euler
  • Le nombre de Brasselet
  • Des points critiques de Morse stratifiés
  • Des invariants topologiques locaux

Euler obstruction and generalizations

Astract: Let $f, g : (X, 0)\rightarrow (\mathbb{C}, 0)$ be germs of analytic functions defined over a complex analytic space $X$. The Brasselet number of a function $f$ describes numerically the topology of its generalized Milnor fibre. In this thesis, we present formulas to compare the Brasselet numbers of $f$ in $X$ and of the restriction of $f$ to $X \cap \{g = 0\}$, in the case where $g$ has a one-dimensional stratified critical set and $f$ has an arbitrary critical set. If, additionally, $f$ has isolated singularity at the origin, we compute the Brasselet number of $g$ in $X$ and compare it with the Brasselet number of $f$ in $X$. As a consequence, we obtain formulas to compute the local Euler obstruction of $X$ and of $X\cap\{g=0\}$ at the origin, comparing these numbers with local invariants associated to $f$ and $g.$ We also study the local topology of a deformation of $g, \ \tilde{g}=g+f^N,$ for a positive integer number $N\gg1.$ We provide a relation between the Brasselet number of $g$ and $\tilde{g}$ in $X\cap\{f=0\}$, in the case where $f$ has isolated singularity at the origin. We also provide a new proof for the Lê-Iomdine formula for the Brasselet number.

Keywords:

  • Euler obstruction
  • Brasselet number
  • Stratified Morse critical points
  • Local topological invariants

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