Longueur stable de commutateurs et petites simplifications

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Date(s) - 04/02/2014
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Si G est un groupe et g un élément du sous-groupe dérivé [G,G] (c’est le sous-groupe engendré par les commutateurs — les éléments de la forme [x,y]=xyx⁻¹y⁻¹), la longueur de commutateurs cl(g) de g est le plus petit entier n tel que g s’écrit comme le produit de n commutateurs.
La longueur stable de commutateurs scl(g) est la limite de cl(g^n)/n ; elle est liée à l’espace de quasi-morphismes homogènes sur G, et donc à la seconde cohomologie bornée de G .
Jusqu’à 1991, il n’était pas connu si dans un groupe simple il peut exister un élément qui ne soit pas un commutateur (c’est-à-dire, pas de la forme xyx⁻¹y⁻¹). En 1992 Jean Barge et Étienne Ghys ont trouvé les premiers exemples en montrant que scl est non nul dans certains groupes simples de difféomorphismes.
La théorie des petites simplifications permet de construire des groupes simples de type fini où la longueur de commutateurs n’est pas bornée mais où la longueur stable de commutateurs (scl) est nulle.
http://www.math.univ-toulouse.fr/~muranov/“>http://www.math.univ-toulouse.fr/~muranov/
_ Alexey Muranov

Olivier CHABROL
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