Marche aléatoire sur le graphe de Poisson-Delaunay dans l’espace hyperbolique.

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Date/heure
Date(s) - 17/10/2016
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Une façon naturelle de tirer au hazard un sous-ensemble discret dans l’espace hyperbolique est donnée par le processus ponctuel de Poisson $P_\lambda$. Ce processus dépend d’un paramètre $\lambda$, appelé intensité, qui donne la probabilité par unité de volume de trouver un point dans un certain endroit de l’espace. Il est invariant (en loi) par les isométries de l’espace hyperbolique.

Le graphe de Delaunay associé à $P_\lambda$ est construit en joignant deux point de $P_\lambda$ par une arête, s’il existe une boule ouverte qui contient les deux points dans son bord et qui est disjointe de $P_\lambda$. Il s’agit d’un exemple de graphe aléatoire stationnaire au sens de Benjamini-Curien.

Dans cet exposé je vais montrer que la vitesse (moyenne) de fuite de la marche aléatoire simple sur ce graphe est positive, dès que l’intensité $\lambda$ est assez petite. L’ingredient principale de la preuve est une formule pour la vitesse à la Furstenberg. Cette formule permet de donner une estimation pour la vitesse hyperbolique moyenne de la marche (la vitesse par rapport à la distance hyperbolique) qu’on peut comparer après avec la vitesse intrinsèque dans le graphe.

C’est un travail en commun avec Pablo Lessa et Elliot Paquette.

http://www.math.u-psud.fr/~carrasco/

Olivier CHABROL
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