Markovinification du processus quantile et transport optimal – Nicolas Juillet

Nicolas Juillet
IRMA, Université de Strasbourg
http://irma.math.unistra.fr/~juillet/

Date(s) : 28/09/2018   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Le théorème de Kellerer (1972) montre que, pour des mesures $(\mu_t)_t$ dans l’ordre convexe (croissant), il existe une martingale markovienne (ou une sous-martingale markovienne) dont les marges 1-dimensionnelles sont les mesures $\mu_t$. Au regard de la décomposition de Doob-Meyer il peut paraître étonnant que le résultat analogue pour les processus croissants markoviens et des marges croissant pour la domination stochastique usuelle n’ait pas été démontré. Il faut bien comprendre que les fonctions de répartitions inverses permettent certes d’obtenir un processus quantile croissant, mais il ne sera pas markovien en général. De plus la démonstration de Kellerer n’est pas sujette à généralisation. Dans un travail en collaboration avec Charles Boubel, nous démontrons pourtant le résultat espéré en définissant le “processus Markov-quantile”. Ce processus ouvre par ailleurs la voie à une nouveau type de résultats en transport optimal: le processus Markov-quantile est l’unique processus markovien associé à $(\mu_t)_{t\in [0,1]}$ qui, à la fois, minimise l’action lagrangienne quadratique (énergie) et est obtenu comme limite d’un schéma d’approximation.

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