Matteo RUGGIERO (Université de Paris) – Dynamique locale et modèles algébriquement stables pour germes holomorphes non-inversibles en dimension 2

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Date/heure
Date(s) - 17/02/2020
14 h 00 min - 15 h 00 min

Emplacement
Site Nord, CMI, Salle de Séminaire R164 (1er étage)

Catégories


Matteo RUGGIERO (IMJ-PR, Université Paris 7)

Soit X une surface complexe (pas forcement lisse), et f : X -> X une application holomorphe.
On s’intéresse aux phénomènes de dynamique locale autour d’un point critique x_0 fixé par f.

En général, ce n’est pas possible de trouver des formes normales explicites: une autre approche très efficace vient de la géométrie algébrique, et consiste en remplacer X par un modèle biméromorphe X_π bien choisi. Pour toute application birationnelle propre π:X_π -> (X,x_0), le relevé f_π de f sur X_π définit une application méromorphe. On dit que π est un modèle algébriquement stable si pour toute courbe compacte E de X_π, son image par les itérés f_π^n n’appartient pas à l’ensemble d’indétermination de f_π pour n assez grand.

En un travail en collaboration avec William Gignac, on montre que pour tout germe f sur (X,x_0) lisse, et toute application birationnelle propre π’, il existe un modèle π qui le domine et algébriquement stable pour f. Ce résultat s’étend à toute singularité normale de surface (X,x_0), avec l’exception des germes finis su des singularités cusps, pour lesquels ils existent des exemples qui n’admettent pas de modèles algébriquement stables. La démonstration est basée sur l’étude de l’action f_* induite par f sur un espace de valuations V bien choisi, en suivant les techniques développées précédemment par Charles Favre et Mattias Jonsson. Dans notre situation locale, on construit une distance sur V pour laquelle f_* est non-expansive ; cela nous permet de déduire des théorèmes de point fixe pour f_*.


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