Maximisation de la résolvante d’un matrice quelconque dont le spectre est fixé

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Date(s) - 15/09/2015
11 h 00 min - 12 h 00 min

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En analyse numérique, il est souvent nécessaire d’estimer le conditionnement $ CN (T) = \|T\| \|T ^ {- 1}\| $ et la norme de la résolvante $ \|(\zeta-T)^{- 1}\l $ d’une matrice donnée $T$ de taille $ n \times n$. Nous donnons de nouvelles estimations spectrales pour ces quantités et explicitons des matrices qui permettent d’atteindre nos bornes. Nous retrouvons le résultat très ancien (parfois attribué à L. Kronecker) suivant : la borne supérieure de $CN (T) $ prise sur l’ensemble des matrices de norme inférieure ou égale à 1 et dont le minimum des valeurs propres (en valeur absolue) $r=\min_{\lambda \in \sigma (T)} \{|\lambda|\} $ est strictement positif, est égale à $\frac {1} {r^{n}}$. Ce résultat est ensuite généralisé par le calcul à $\zeta$ fixé dans le disque unité fermé, de la borne supérieure de $ \lbrace\|(\zeta-T)^{-1}\l\rbrace $, prise sur l’ensemble des matrices $T$ de norme inférieure ou égale à 1 dont le spectre $\sigma(T)$ est contraint à rester à une distance pseudo-hyperbolique au moins $r\in (0,1] $ de $\zeta $. Nous constatons que cette borne supérieure est atteinte par une matrice de Toeplitz triangulaire. Nous fournissons ainsi une classe simple de matrices dont le conditionnement ou plus généralement la norme de la résolvante peuvent être étudiés numériquement. Ces matrices de Toeplitz extrémales sont appelées matrices modèles dans la mesure où elle sont des représentations matricielles de la compression de l’opérateur de décalage vers la gauche sur l’espace de Hardy $H_{2} $ à un sous-espace invariant de dimension finie.

Ce travail est effectué en collaboration avec Oleg Szehr (Université de Cambridge).

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Olivier CHABROL
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