Mousses et homologies d’entrelacs

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Date(s) - 26/03/2018
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Foams and link homologies.

Les homologies de Khovanov-Rozansky sont des invariants d’entrelacs. Elles catégorifient les invariants d’entrelacs associés aux puissances extérieures de la représentation canonique du groupe quantique Uq(sl(N)). À l’origine, elles sont construites en utilisant les factorisations matricielles. J’expliquerai comment en donner une définition plus diagramatique et plus topologique via les mousses et en quoi cette nouvelle définition est avantageuse. Les mousses sont les cobordismes naturels entre des graphes.
En commun avec E. Wagner.

http://www.unige.ch/math/folks/robert/

Les mousses sont des surfaces avec des singularités. On peut y penser comme des cobordismes entre des graphes. Je vais présenter une formule qui permet d’associer à une mousse sans bord un polynôme symérique en N variables. J’expliquerai ensuite comment cette formule donne une TQFT qui catégorifie le calcul MOY $\mathfrak{sl}_N$. Ceci permet de définir l’homologie d’entrelacs $\mathfrak{sl}_N$ équivariante.

De manière surprenante, cette même formule permet de catégorifier les invariants d’entrelacs associés aux puissances symétriques de la représentation standard de $U_q(\mathfrak{sl}_N)$ (le polynôme de Jones colorié dans le cas N=2).

Khovanov et Seidel ont défini en 2000 une action des groupes de tresses sur la catégorie des modules sur l’algèbre zig-zag, un certain quotient d’une algèbre de chemins. Cette action, qui catégorifie la représentation de Burau, est fidèle et la catégorie en jeu se comprend comme un analogue catégorique du réseau des racines pour l’étude des groupes de Weyl.

La présence de plusieurs graduations sur cette catégorie de modules fournit de nouveaux outils pour l’étude des groupes d’Artin-Tits. J’expliquerai notamment comment dériver des mesures sur les groupes de tresses en mesurant l’étalement du cœur de la catégorie sous l’action d’une tresse donnée. On identifiera ainsi les longueurs-mots en les générateurs d’Artin et duaux.

Un intérêt majeur de cette approche est qu’elle permet de mélanger les différentes graduations et de mener une étude parallèle des deux métriques.


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