Polynômes sur les corps finis pour la cryptographie – INSTITUT DE MATHÉMATIQUES DE MARSEILLE

Florian Caullery
I2M, Aix-Marseille Université

Date(s) : 28/05/2014 iCal
10 h 00 min - 12 h 00 min

Soutenance de thèse

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Les fonctions de F_q dans lui-même sont des objets étudiés dans de divers domaines tels que la cryptographie, la théorie des codes correcteurs d’erreurs, la géométrie finie ainsi que la géométrie algébrique. Il est bien connu que ces fonctions sont en correspondance exacte avec les polynômes en une variable à coefficients dans F_q. Nous étudierons trois classes de polynômes particulières: les polynômes Presque Parfaitement Non linéaires (Almost Perfect Nonlinear (APN)), les polynômes planaires ou parfaitement non linéaire (PN) et les o-polynômes.Les fonctions APN sont principalement étudiées pour leurs applications en cryptographie. En effet, ces fonctions sont celles qui offre la meilleure résistance contre la cryptanalyse différentielle.Les polynômes PN et les o-polynômes sont eux liés à des problèmes célèbres de géométrie finie. Les premiers décrivent des plans projectifs et les seconds sont en correspondance directe avec les ovales et hyperovales de P^2(F_q). Néanmoins, leurs champ d’application a été récemment étendu à la cryptographie symétrique et à la théorie des codes correcteurs d’erreurs.L’un des moyens utilisé pour compléter la classification est de considérer les polynômes présentant l’une des propriétés recherchées sur une infinité d’extension de F_q. Ces fonctions sont appelées fonction APN (respectivement PN ou o-polynômes) exceptionnelles.Nous étendrons la classification des polynômes APN et PN exceptionnels et nous donneront une description complète des o-polynômes exceptionnels. Les techniques employées sont basées principalement sur la borne de Lang-Weil et sur des méthodes élémentaires.
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Mots clés : corps finis, fonctions polynômiales, cryptographie symétrique, géométrie algébrique, fonction presque parfaitement non linéaire, plan projectif, ovale, hyperfocale, code correcteurs d’erreurs, corps finis, géométrie algébrique.
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*Membres du jury :

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– La présidente du jury était Anne Canteaut.
– Le jury était composé de Kai-Uwe Schmidt, Yves Aubry.
– Les rapporteurs étaient Thierry Berger, Claude Carlet.
– Directeur de thèse : François Rodier
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