Problème de Waring, et entiers sans grands facteurs premiers

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Date(s) - 10/11/2015
11 h 05 min - 12 h 05 min

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Le problème de Waring est la question de savoir, étant donné k ≥ 1, si tout entier N suffisamment grand peut s’écrire comme somme d’un nombre fixé de puissances k-ièmes :
N = n_1^k + … + n_s^k.
Ce problème, ainsi que la détermination de l’entier s(k) minimal, est lié à des majorations de sommes d’exponentielles. Lorsque l’on impose une condition de nature multiplicative sur les entiers n_j, les sommes d’exponentielles associées sont plus délicates à étudier.
Nous parlerons du cas où l’on contraint les n_j à n’avoir que des facteurs premiers ≤ y, en faisant varier y = y(N). Il sera notamment question du cas particulièrement intéressant y=(\log N)^A (A fixé), récemment résolu par Harper pour k=1.
Ceci est un travail en commun avec X. Shao (Oxford).

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Olivier CHABROL
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