Problème de Waring, et entiers sans grands facteurs premiers

Sary Drappeau
I2M, Aix-Marseille Université
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Date(s) : 10/11/2015   iCal
11 h 05 min - 12 h 05 min

Le problème de Waring est la question de savoir, étant donné k ≥ 1, si tout entier N suffisamment grand peut s’écrire comme somme d’un nombre fixé de puissances k-ièmes :
N = n_1^k + … + n_s^k.
Ce problème, ainsi que la détermination de l’entier s(k) minimal, est lié à des majorations de sommes d’exponentielles. Lorsque l’on impose une condition de nature multiplicative sur les entiers n_j, les sommes d’exponentielles associées sont plus délicates à étudier.
Nous parlerons du cas où l’on contraint les n_j à n’avoir que des facteurs premiers ≤ y, en faisant varier y = y(N). Il sera notamment question du cas particulièrement intéressant y=(\log N)^A (A fixé), récemment résolu par Harper pour k=1.
Ceci est un travail en commun avec X. Shao (Oxford).

Waring problem, and integers without large prime factors

Waring’s problem is the question of knowing, given k ≥ 1, if any sufficiently large integer N can be written as the sum of a fixed number of k-th powers:
N = n_1^k + … + n_s^k.
This problem, as well as the determination of the minimal integer s (k), is linked to increases in exponential sums. When we impose a condition of a multiplicative nature on the integers n_j, the associated exponential sums are more difficult to study.
We will talk about the case where we constrain the n_j to have only prime factors ≤ y, by varying y=y(N). We will notably deal with the particularly interesting case y=(\log N)^A (A fixed), recently solved by Harper for k=1.
This is a joint work with X. Shao (Oxford).

https://arxiv.org/abs/1602.07885

 

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