Puissances de facteurs et de produits de Blaschke : coefficients de Fourier et applications

Karine Isambard-Fouchet
I2M, Aix-Marseille Université
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Date(s) : 08/12/2021   iCal
12 h 00 min - 17 h 00 min

SOUTENANCE DE THÈSE

Sous la direction de Rachid Zarouf et de Alexandre Boritchev.

Thèse en préparation à Aix-Marseille , dans le cadre de Mathématiques et informatique de Marseille (184) , en partenariat avec Institut de Mathématiques de Marseille (équipe de recherche AGT ) depuis le 04-12-2017 .

Résumé :

Les travaux de recherche effectués dans cette thèse se concentrent dans un premier temps sur l’obtention de formules asymptotiques lorsque $n$ tend vers l’infini, du $k^{\text{ème}}$ coefficient de Fourier de la puissance $n^{\text{ème}}$ d’un facteur de Blaschke $b_\lambda$ associé à un point $\lambda$ arbitrairement fixé dans le disque unité ouvert. Notant $\widehat{b_\lambda^n}(k)$ ces coefficients, nous prolongeons et affinons les résultats existants dans la littérature en établissant des formules asymptotiques de $\widehat{b_\lambda^n}(k)$ quand $n \rightarrow \infty$, pour $k \geq 0$ quelconque. Ceci nous conduit à étudier huit régions d’appartenance de $k$ où le comportement asymptotique de ces coefficients change. Pour réaliser cette étude, nous utilisons des outils classiques de l’analyse asymptotique : la méthode dite de la phase stationnaire et la méthode dite de la descente la plus raide. Une application de ces méthodes montre que la nature de la décroissance de $\widehat{b_\lambda^n}(k)$ quand $n \rightarrow \infty$ dépend de la position de $k$ par rapport aux valeurs “critiques” $\alpha_0n$ et $\alpha_0^{-1}n$, où $\alpha_0 = \frac{1-\lambda}{1+\lambda}$ et son inverse sont des points stationnaires relatifs aux intégrales définissant $\widehat{b_\lambda^n}(k)$ dont nous calculons une formule asymptotique. Des versions uniformes des méthodes évoquées sont requises quand $k$ s’approche de $\alpha_0n$ ou $\alpha_0^{-1}n$.
Ensuite, à titre d’application de nos formules asymptotiques, nous construisons des fonctions fortement annulaires, dont les coefficients de Taylor satisfont certaines propriétés de sommation, ce qui nous permet de généraliser et d’affiner les résultats élaborés par D.D. Bonar, F.W. Carroll et G. Piranian en 1977. En faisant usage de propriétés des polynômes plats, nous élaborons aussi une autre construction de telles fonctions conçue à partir d’un théorème de E. Bombieri et J. Bourgain (2009).
Dans une autre partie de la thèse, nous obtenons une majoration asymptotiquement exacte, lorsque $n$ tend vers l’infini, de la suite $\left( \widehat{B^n} (k) \right)_{k \geq 0}$ des coefficients de Fourier de la puissance $n^{\text{ème}}$ d’un produit de Blaschke fini quelconque $B$, que nous appliquerons dans la dernière partie de la thèse à une question d’analyse matricielle/théorie des opérateurs, énoncée par J. J. Schäffer en 1970.
Nous élaborons également des exemples constructifs de produits de Blaschke finis qui atteignent nos majorants.

Le dernier chapitre de cette thèse est consacré à l’étude du conditionnement de matrices $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ pour $n$ grand, matrices dont le spectre est donné et qui agissent sur un espace de Hilbert (question de P. Halmos) ou sur un espace de Banach (question de J.J. Schäffer). On considère aussi des analogues de ces questions pour certaines classes spécifiques de matrices, et nous étudions en particulier le cas des matrices dites de Kreiss. Dans le cas hibertien, on fournit une preuve élémentaire du résultat (connu) de l’existence d’une matrice de Toeplitz $T_\lambda$ de spectre $\lambda$ atteignant la borne d’Halmos. Dans le cas banachique, nous utilisons notre majoration des coefficients $\widehat{B^n}(k)$, lorsque $B$ est un produit de Blaschke fini quelconque, pour construire des matrices de spectres donnés arbitraires réfutant la conjecture de Schäffer. Enfin, nous démontrons que $T_\lambda$ est également extrémale pour le même problème de mauvais conditionnement, cette fois regardé sur l’ensemble des matrices de Kreiss.

ED184

Lien : Theses.fr

Emplacement
Site Nord, CMI

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