Luigi SANTOCANALE – Quantales MIX *-autonomes et l’ordre faible continu

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Date(s) - 21/03/2019
11 h 00 min - 12 h 30 min

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L’ensemble des permutations sur une ensemble fini possède la structure de treillis connue comme l’ordre faible de Bruhat. Cette structure s’étend aux mots sur un alphabet fini Σ = { x, y, z, . . . } tels que chaque lettre a un nombre fixé d’occurrences. Ces treillis sont connus comme « treillis multinomiaux » et, quand card(Σ) = 2, comme « treillis de chemins dans le réseau » (lattices of lattice path). Si on interprète les lettres x, y, z, . . . comme des axes, ces mots peuvent se voir comme des chemins discrets sur une grille dans un cube de dimension d = card(Σ).

Dans cet exposé j’expliquerai comment étendre cet ordre aux (images des) chemins continus croissants de l’intervalle [0,1] vers le cube [0,1]^d (qui préservent les extrémités 0 et 1). On obtient ainsi un treillis noté L_d([0,1]) ; l’outil clé de cette construction est le quantal (ou treillis résidué involutif) L_∨([0,1]) des fonctions sup-continues (cad, croissantes continue à gauche) de l’intervalle [0,1] vers lui même. Il s’agit d’un quantal (treillis résidué) cyclique *-autonome (involutif), qui satisfait la règle MIX.

Nous exposerons la structure des treillis L_d([0,1]) : ils sont auto-duaux, engendrés par sups par les éléments sup-irréductibles, il ne possèdent pas des éléments complétement sup-irréductibles. Quand d = 2, L_d([0,1]) = L_∨([0,1]) est la complétion de Dedekind-MacNeille des chemins discrets avec sauts rationnels. Quand d ≥ 3, cette propriété n’est plus vraie, mais chaque élément de L_d([0,1]) est un sup d’infs des chemins avec sauts rationnels.

http://pageperso.lif.univ-mrs.fr/~luigi.santocanale/


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