Reformulation hyperbolique du premier ordre des équations de Navier-Stokes-Korteweg

******** Résumé ********

Je présenterai une reformulation hyperbolique du premier ordre des équations de Navier-Stokes-Korteweg (NSK) [1,2], fondée sur le modèle de Godunov-Peshkov-Romenski de mécanique des milieux continus [3], combiné à une approche de type Lagrangien augmenté [4], permettant d’approximer les équations dispersives du type Euler-Korteweg par un système hyperbolique de premier ordre. Cette approche est basée sur une méthode de pénalisation afin d’approcher le gradient de la densité, présent dans le Lagrangien du système par de nouvelles variables indépendantes, pour lesquelles on établit les équations de fermeture nécessaires. Le système ainsi obtenu admet des contraintes de rotationnel nul qu’il faut prendre en considération, soit en utilisant des techniques de « curl-Cleaning » [5], similaires a celles introduites par Munz et al pour les contraintes a divergence nulle [6], soit par la construction de schémas numériques qui préservent exactement ces contraintes au niveau numérique . Pour illustrer la méthode, je présenterai quelques résultats numériques obtenus par des schémas ADER-DG (Galerkin Discontinu) d’ordre 4. Les résultats incluent des ondes progressives dissipatives et/ou dispersives ainsi que des tests du type « Mûrissement d’Ostwald ».

******* Abstract  ********

I will present a novel first-order hyperbolic reformulation of the Navier-Stokes-Korteweg system [1,2], based on the Godunov-Peshkov-Romenski model of continuum mechanics [3] , combined with an augmented Lagrangian approach [4], allowing to cast the non-linear dispersive Euler-Korteweg equations into a first-order hyperbolic system. The latter method is based on a classical penalty method used to approximate the gradient terms in the Lagrangian by a new set of independent variables, for which suitable closure equations are sought. The governing equations for the newly introduced degrees of freedom admit curl-free constraints which must be taken into account in order to obtain stable numerical solutions. Thus, we employ here a thermodynamically compatible curl-cleaning approach [5], similar to the GLM divergence cleaning introduced by Munz et al. [6] for the divergence constraint of the magnetic field in the Maxwell and MHD equations. The system of equations is solved at the aid of a high-order ADER Discontinuous Galerkin finite-element scheme with a posteriori subcell finite volume limiting in order to deal with shock waves, discontinuities and steep gradients in the numerical solution. We show numerical results for several standard benchmark problems, including Ostwald ripening in one and two space dimensions, diffuse and dispersive traveling wave solutions.

******* Quelques References / Some references ********

[1] F. Dhaouadi, and M.Dumbser. « A first order hyperbolic reformulation of the Navier-Stokes-Korteweg system based on the GPR model and an augmented Lagrangian approach. » Journal of Computational Physics 470 (2022): 111544.

[2] F. Dhaouadi, and M.Dumbser. « A Structure-Preserving Finite Volume Scheme for a Hyperbolic Reformulation of the Navier–Stokes–Korteweg Equations ». Mathematics. 2023 Feb 9;11(4):876.

[3] M. Dumbser, I. Peshkov, E. Romenski, and O. Zanotti. High order ADER schemes for a unified first order hyperbolic formulation of continuum mechanics: Viscous heat-conducting fluids and elastic solids. Journal of Computational Physics, 314:824–862, 2016.
[4] F. Dhaouadi, N. Favrie, and S. Gavrilyuk. Extended Lagrangian approach for the defocusing nonlinear Schrödinger equation. Studies in Applied Mathematics, pages 1–20, 2018.
[5] S. Busto, M. Dumbser, C. Escalante, S. Gavrilyuk, and N. Favrie. On high order ADER discontinuous Galerkin schemes for first order hyperbolic reformulations of nonlinear dispersive systems. Journal of Scientific Computing, 87:48, 2021.
[6] C.D. Munz, P. Omnes, R. Schneider, E. Sonnendrücker, and U. Voss. Divergence Correction Techniques for Maxwell Solvers Based on a Hyperbolic Model. Journal of Computational Physics, 161:484–511, 2000.