Quentin Ghibaudo
I2M, Aix-Marseille Université
http://www.theses.fr/s169897
Date(s) : 18/12/2020 iCal
10 h 00 min - 12 h 00 min
SOUTENANCE DE THESE
Relations d’Einstein et de Nyquist pour des diffusions en milieu aléatoire perturbées par une force périodique en temps.
On prouve des relations d’Einstein et de Nyquist pour des diffusions en milieu aléatoire perturbées par une force dépendant du temps de manière périodique. Plus précisément, on considère un processus de diffusion réversible, évoluant dans un milieu stationnaire et ergodique, qui en l’absence de perturbation, converge vers un Brownien centré après un changement d’échelle approprié. Puis, on perturbe cette diffusion en lui appliquant une force périodique en temps, et on étudie la réponse de la diffusion à cette perturbation.
On montre premièrement que la diffusion perturbée, ainsi que ses coefficients de Fourier, satisfont un principe d’invariance sur l’échelle de Lebowitz et Rost. Plus précisément, ces processus convergent, sous un changement d’échelle approprié et en faisant tendre simultanément l’intensité de la force vers 0, vers un mouvement Brownien de matrice de covariance et dérive constantes.
Dans un deuxième temps, on prouve une loi des grands nombres pour la diffusion perturbée ainsi que pour ses coefficients de Fourier. On montre que les vitesse limites sont dérivables en 0 par rapport à l’intensité de la force. On calcule ensuite la dérivée en 0 de ces vitesses et on établit un lien entre ces dernières et le coefficient de diffusion du Brownien limite de la diffusion non perturbée (resp. de ses coefficients de Fourier). Ces relations forment les relations d’Einstein et de Nyquist.
On applique finalement ces résultats à deux exemples de perturbations.
Directeur de thèse : Pierre Mathieu.
Jury :
Nina Gantert, Technische Universität München (rapporteure);
Stefano Olla, Université Paris-Dauphine (rapporteur);
François Hamel, Aix-Marseille Université;
Alejandro F. Ramírez, Pontificia Universidad Católica de Chile;
Rémi Rhodes, Aix-Marseille Université;
Pierre Mathieu, Aix-Marseille Université (directeur de thèse).
Visioconférence en suivant le lien suivant :
Einstein and Nyquist relations for diffusions in a random environment perturbed by a time-periodic external force.
We prove Einstein and Nyquist relations for diffusions in a random environment perturbed by a time-periodic external force. Let us consider a reversible diffusion in a stationary, uniformly elliptic, random environment. We call this process the unperturbed diffusion. It is well known that such a diffusion process satisfies an invariance principle, converging towards a Brownian motion with some constant covariance matrix. Then, we perturb the diffusion process by adding a time-periodic external force, and we study the response of the diffusion to the perturbation.
First, we prove that the perturbed diffusion and its Fourier coefficients satisfy an invariance principle on the Lebowitz and Rost scale. Namely, we show that these processes converge towards a Brownian motion with constant covariance matrix and drift, when space, time and the intensity of the force are appropriately scaled.
Then, we prove a law of large numbers for both the perturbed diffusion and its Fourier coefficients. We show that the asymptotic velocities are differentiable at 0 with respect to the intensity of the perturbation. Furthermore, we compute those derivatives at 0, and we establish a link between the derivatives of the velocities and the diffusion coefficient of the limiting Brownian motion for the unperturbed process (resp. for its Fourier coefficients). This proves the Einstein and Nyquist relations.
Finally, we apply our results to two concrete external forces.
Supervisor: Pierre Mathieu.
Jury:
Nina Gantert, Technische Universität München (rapporteure);
Stefano Olla, Université Paris-Dauphine (rapporteur);
François Hamel, Aix-Marseille Université;
Alejandro F. Ramírez, Pontificia Universidad Católica de Chile;
Rémi Rhodes, Aix-Marseille Université;
Pierre Mathieu, Aix-Marseille Université (supervisor).
Catégories