Représentations convexes-cocompacts et commutateurs

Soit H^3 l’espace hyperbolique de dimension 3 et G le groupe d’isométries de H^3. Soit G’ un groupe (abstrait) de type fini.

On commencera par définir les sous-groupes convexe-cocompacts de G avant de considérer l’espace des représentations R(G’,G)=Hom(G’,G) et plus précisément CC(G’,G) l’ensemble des représentations convexes-cocompactes ( ie dont l’image est convexe-cocompacte).

Aut(G’) agit sur R(G’,G) par précomposition et on peut montrer que CC(G’,G) est un ouvert de R(G’,G) invariant par l’action de Aut(G’) et que l’action de Aut(G’) sur CC(G’,G) est proprement discontinue.

Une question récurrente dans ce contexte est de demander si CC(G’,G) forme un ouvert maximal sur lequel l’action de Aut(G’) est proprement discontinu.

Si A est un sous-ensemble de G’ stable par automorphismes de G’, on peut définir l’espace des représentations A-stables AS(G’,G) qui forme un ouvert de R(G’,G), invariant par l’action de Aut(G’) et contenant CC(G’,G).

Dans cet exposé, nous donnerons plusieurs exemples (pour différents A) de telles représentations et étudierons les questions de l’inclusion stricte de CC(G’,G) dans AS(G’,G) ainsi que de celle de la propre discontinuité de l’action de Aut(G’) sur AS(G’,G).

Nous étudierons en particulier le cas où A est le sous-groupe dérivé de G’ et montrerons que cet ensemble de représentations est identique à CC(G’,G).