Résonances pour des Guides d’Ondes Acoustiques Multistratifiés. Quelques Problèmes Inverses pour l’équation de la chaleur (HDR Olivier Poisson)

Olivier Poisson
I2M, Aix-Marseille Université
/user/olivier.poisson/

Date(s) : 18/11/2014   iCal
15 h 00 min - 17 h 00 min

Soutenance HDR

https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01255506

Ce mémoire présente la majeure partie de mes travaux de recherche de- puis mon arrivée à l’Université de Provence, fin 1992. Ces travaux, détaillés ici, se composent de deux parties indépendantes. La partie II est divisée en trois chapitres qui peuvent être lus pratiquement indépendamment. La première partie porte sur l’étude de la propagation d’ondes acous- tiques dans une bande multistratifiée. C’est un projet proposé par Y. Der- menjian quand je suis arrivé dans la “jeune équipe” à l’université de Pro- vence. A ce moment-là des travaux, Y. Dermenjian et E. Croc avaient établi le principe d’absorption limite pour l’opérateur d’ondes acoustiques dans une bande multistratifiée constituée de trois régions homogènes. J’ai fourni alors des représentations numériques de quelques ondes appelées “modes propres généralisés”. Plus tard, en collaboration avec Y. Dermenjian et Boris Vain- berg, nous avons établi le prolongement méromorphe de la résolvante de l’opérateur de diffusion des ondes, avec ses conséquences. Puis j’ai publié un résultat sur la distribution des valeurs propres d’un tel opérateur. Les sections 1, 2, 3, 4 se basent sur l’article [8]. J’y ai corrigé quelques er- reurs sans conséquences, notamment la définition de D(A) (noté H dans [8, (1.3)]). J’y ai aussi ajouté un petit complément en précisant le fait qu’en un seuil λ0, les résidus R1(λ0 + i0) et R1(λ0 − i0) coincident, au contraire de R2(λ0 +i0) et R2(λ0 −i0), sauf exception comme le cas de la bande stratifiée non perturbée. J’ai repris les détails de certaines démonstrations de [8] qui me paraissent assez originales, et laissé ceux d’autres preuves plus classiques. La section 5 se base sur le résultat de l’article [13] qui présente un résultat assez peu usuel, ainsi qu’une partie de la démonstration, qui ne me semble pas très standard. La deuxième partie porte sur une inégalité de Carleman et des problèmes inverses, pour la même équation parabolique. Elle est découpée en trois cha- pitres. L’arrivée dans notre équipe d’Assia Benabdallah et de Jérome Le Rousseau au début des années 2000 a permis une très bonne animation scien- tifique ainsi qu’une fructueuse collaboration sur des sujets riches comme le contrôle des solutions d’équations de type parabolique avec coefficient de conductivité discontinu, ou des problèmes inverses associés à de telles équa- tions, incluant la technique des inégalités de Carleman pour l’équation de la chaleur. J’ai publié en 2008 le résultat d’inégalité de Carleman multi- dimensionnel étendant les résultats du papier originel Dubova-Osses-Puel en 2002. Le résultat a cependant été complètement dépassé par une nette amé- lioration de J. Le Rousseau et L. Robbiano l’année suivante, basée sur une approche différente. Toujours en 2008, j’ai également publié le résultat de problème inverse basé sur la méthode inventée par Bukgheim et Klibanov. Pour une raison chronologique, la démonstration que j’y élabore utilise pour l’inégalité de Carleman la version “Dubova-Osses-Puel” et non la mienne, où les hypothèses, quoique plus faibles, sont plus longues à décrire, et où la démonstration est techniquement plus sophistiquée. Il est clair que c’est maintenant la version “Le Rousseau-Robbiano” qu’il faut considérer, la seule VI à notre portée pour l’instant, même si son emploi n’est pas direct. Plus récem- ment, sous l’impulsion de Hiroshi Isozaki, j’ai étudié le problème de Caldéron pour l’équation de la chaleur, par des méthodes très différentes de celles pour les questions précédentes. C’est pourquoi les trois chapitres de cette partie sont liés mais j’ai fait en sorte qu’on puisse les lire indépendamment. Le chapitre 1 se base sur l’article [42], qui reprend les résultats de [28] en éten- dant les hypothèses sur le coefficient de conductivité. Les fonctions poids de Carleman sont construites à partir de fonctions spatiales βi(x), comme dans le système de notations de [28] ou de [42]. La relation entre les β (ou βi) et la fonction spatiale φ du système de notations de [39] est explicitée. Le chapitre 2 se base sur l’article [43]. Pour l’inégalité de Carleman utilisée, c’est la fonction φ précédente qui est employée. Le chapitre 3 porte sur le problème de Calderón, version équation de la chaleur. Il s’agit de donner une méthode de reconstruction de l’interface où la conductivité est discontinue, connnaissant la conductivité de fond (“background”). Y sont présentés deux résultats. Le premier concerne une conductivité indépendante du temps, et la méthode consiste à revenir au cas elliptique avec un potentiel dépendant d’un grand paramètre. Le deuxième se place dans le cadre difficile où la conductivité dépend du temps, la dimension d’espace étant un. La preuve du résultat principal utilise une méthode d’ansatz ainsi qu’une estimation d’énergie.

Mots-clés : Equation aux dérivées partielles, Théorie spectrale, Inégalités de Carleman

Membres du jury :
– Assia Benabdallah (Université d’Aix-Marseille)
– Franck Boyer (Université d’Aix-Marseille)
– Mourad Choulli (Université de Lorraine)
– Mouez Dimassi (Université de Bordeaux 1)
– David Dos Santos Ferreira (Université de Lorraine)
– Hiroshi Isozaki (Université de Tsukuba, Japon)
– Gilles Lebeau (Université de Nice)
– Jean-Pierre Puel (Université de Versailles)
– Luc Robbiano (Université de Versailles)

Resonances for Multilayered Acoustic Waveguides. Some Inverse Problems for the Heat Equation.

This dissertation presents most of my research work since my arrival at the University of Provence at the end of 1992. This work, detailed here, consists of two independent parts. Part II is divided into three chapters which can be read almost independently. The first part deals with the study of the propagation of acoustic waves in a multi-layered band. This is a project proposed by Y. Dermenjian when I joined the “young team” at the University of Provence. At that time, Y. Dermenjian and E. Croc had established the principle of absorption limit for the operator of acoustic waves in a multi-layered band made up of three homogeneous regions. I then provided digital representations of some waves called “generalized eigenmodes”. Later, in collaboration with Y. Dermenjian and Boris Vainberg, we established the meromorphic extension of the wave scattering operator resolvent, with its consequences. Then I published a result on the distribution of eigenvalues ​​of such an operator. Sections 1, 2, 3, 4 are based on Article [8]. I corrected some errors without consequences, notably the definition of D (A) (noted H in [8, (1.3)]). I also added a small complement to it by specifying the fact that at a threshold λ0, the residues R1 (λ0 + i0) and R1 (λ0 – i0) coincide, unlike R2 (λ0 + i0) and R2 (λ0 −i0), with some exceptions such as the undisturbed stratified band. I have taken the details of some demonstrations of [8] which seem quite original to me, and left those of other more classic proofs. Section 5 is based on the result of article [13] which presents a rather unusual result, as well as part of the proof, which does not seem very standard to me. The second part deals with a Carleman inequality and inverse problems, for the same parabolic equation. It is divided into three chapters. The arrival in our team of Assia Benabdallah and Jérome Le Rousseau at the beginning of the 2000s allowed a very good scientific animation as well as a fruitful collaboration on rich subjects such as the control of solutions of parabolic-type equations. with discontinuous coefficient of conductivity, or inverse problems associated with such equations, including the Carleman inequality technique for the heat equation. I published in 2008 the multidimensional Carleman inequality result extending the results of the original Dubova-Osses-Puel paper in 2002. The result was however completely exceeded by a clear improvement by J. Le Rousseau and L Robbiano the following year, based on a different approach. Also in 2008, I also published the inverse problem result based on the method invented by Bukgheim and Klibanov. For a chronological reason, the proof that I elaborate there uses for Carleman’s inequality the “Dubova-Osses-Puel” version and not mine, where the hypotheses, although weaker, take longer to describe, and where the demonstration is technically more sophisticated. It is clear that now is the “Le Rousseau-Robbiano” version that must be considered, the only VI available to us for the moment, even if its use is not straightforward. More recently, under the leadership of Hiroshi Isozaki, I studied Calderon’s problem for the heat equation, by methods very different from those for the previous questions. This is why the three chapters in this part are linked but I have made it possible to read them independently. Chapter 1 is based on article [42], which takes the results of [28] by extending the assumptions on the conductivity coefficient. Carleman’s weight functions are built from spatial functions βi (x), as in the notations system of [28] or [42]. The relation between the β (or βi) and the spatial function φ of the notations system of [39] is explained. Chapter 2 is based on Article [43]. For the Carleman inequality used, the previous φ function is used. Chapter 3 deals with the Calderón problem, the heat equation version. This is to give a method of reconstruction of the interface where the conductivity is discontinuous, knowing the background conductivity. Two results are presented. The first concerns a conductivity independent of time, and the method consists in returning to the elliptical case with a potential dependent on a large parameter. The second is placed in the difficult context where conductivity depends on time, the dimension of space being one. The proof of the main result uses an ansatz method as well as an energy estimate.

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