Schémas à mailles décalées sur maillages généraux pour les écoulements incompressibles et compressibles (soutenance de thèse)

Thèse en préparation à Aix-Marseille , dans le cadre de Mathématiques et informatique de Marseille (184), en partenariat avec Institut de Mathématiques de Marseille (groupe de recherche AA) depuis le 07-10-2019.

Membres du jury :

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Résumé : Les équations classiques de la mécanique des fluides, comme les équations de Navier-Stokes ou les équations d’Euler, permettent de décrire différents types d’écoulements observés dans de nombreux phénomènes, comme par exemple les incendies dans des locaux confinés et ventilés mécaniquement ou les déflagrations turbulentes, qui sont étudiées au sein du Laboratoire de l’incendie et des explosions de l’Institut de Radioprotection et de Sûreté Nucléaire. L’objectif de cette thèse est d’améliorer les schémas numériques à mailles décalés utilisés pour la simulation de ce type de problèmes, et de les étendre à des maillages très généraux, tout en garantissant leur validité pour différents régimes d’écoulement (incompressibles ou compressibles).
Une attention particulière est portée sur les opérateurs de convection et de diffusion de l’équation de mouvement dont la discrétisation est développée de façon à être valable pour différents types de mailles, et notamment des mailles tridimensionnelles comme des mailles prismatiques ou pyramidales.
L’opérateur discret de convection de la quantité de mouvement est un opérateur de type volumes finis et se base sur la construction de vitesses interpolées aux interfaces ainsi que sur la construction de flux discrets. Un schéma de type MUSCL algébrique est utilisé pour l’interpolation des vitesses aux faces, qui permet de monter en ordre par rapport au schéma décentré amont classique, tout en garantissant sa stabilité sous certaines conditions. Cet opérateur se base sur des contraintes de stabilité algébriques et non pas géométriques, contrairement au schéma MUSCL originel, ce qui lui permet d’être facilement transposable à des mailles générales. Par ailleurs, les flux discrets pour cet opérateur sont construits à partir des flux de l’opérateur discret de convection de l’équation du bilan de masse. Cette discrétisation, basée sur des conditions de stabilité purement algébriques, dépend de la nature du polygone ou du polyhèdre de la maille considérée, mais pas de leur géométrie, ce qui la rend flexible par rapport à la distorsion ou l’anisotropie du maillage. Pour autant, cette méthode permet d’aboutir à une discrétisation consistante de l’opérateur de convection.
Enfin, l’opérateur discret de diffusion est basé sur une méthode d’éléments finis non-paramétrique. Nous montrons qu’il est possible de généraliser des éléments classiques tels que l’élément de Crouzeix-Raviart ou l’élément de Rannacher-Turek à des mailles générales. Cette généralisation donne des opérateurs discrets i n f − sup stables, et permet de retrouver des ordres de convergence optimaux sur des maillages complexes du fait de sa nature non-paramétrique.

Mots clés : .

Staggered mesh schemes on general meshes for incompressible and compressible flows

Abstract:

The classical equations of fluid mechanics, such as the Navier-Stokes equations or the Euler equations, are used to describe different types of flows observed in many phenomena, such as fires in confined and mechanically ventilated spaces or turbulent deflagrations, which are studied in the Fire and Explosion Laboratory of the Institut de Radioprotection et de Sûreté Nucléaire. The objective of this thesis is to improve the numerical staggered mesh schemes used for the simulation of this type of problem, and to extend them to very general meshes, while ensuring their validity for different flow regimes (incompressible or compressible).
Particular attention is paid to the convection and diffusion operators of the equation of motion, whose discretization is developed in such a way as to be valid for different types of meshes, and in particular three-dimensional meshes such as prismatic or pyramidal meshes.
The discrete momentum convection operator is a finite volume operator and is based on the construction of interpolated velocities at the interfaces as well as on the construction of discrete flows. An algebraic MUSCL type scheme is used for the interpolation of velocities at the faces, which allows to increase the order compared to the classical upstream decentred scheme, while guaranteeing its stability under certain conditions. This operator is based on algebraic and not geometrical stability constraints, unlike the original MUSCL scheme, which allows it to be easily transposed to general meshes. Furthermore, the discrete flows for this operator are constructed from the flows of the discrete convection operator of the mass balance equation. This discretisation, based on purely algebraic stability conditions, depends on the nature of the polygon or polyhedron of the mesh considered, but not on their geometry, which makes it flexible with respect to the distortion or anisotropy of the mesh. However, this method leads to a consistent discretization of the convection operator.
Finally, the discrete diffusion operator is based on a non-parametric finite element method. We show that it is possible to generalise classical elements such as the Crouzeix-Raviart element or the Rannacher-Turek element to general meshes. This generalisation gives stable discrete i n f – sup operators, and allows to find optimal orders of convergence on complex meshes due to its non-parametric nature.

Keywords: .

Liens :
https://www.theses.fr/s227512
https://www.irsn.fr/FR/Larecherche/Formation_recherche/Theses/Theses-en-cours/PSN-RES/Pages/2019-Brunel-Schemas-convection-equations-Navier-Stokes-maillages-generaux.aspx#.Y0gUxVLP3Ko
https://hal.archives-ouvertes.fr/search/index/q/*/authIdHal_i/1116927
https://www.researchgate.net/scientific-contributions/Aubin-Brunel-2230789513