Schémas de Hilbert invariants et théorie des déformations invariantes

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Date(s) - 17/02/2014
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Soit $G$ un groupe algébrique qui opère sur un espace vectoriel $W$. Pendant cet exposé, on s’intéresse au schéma de Hilbert invariant $H=Hilb^G(W)$; celui-ci est l’espace de modules qui paramètre les sous-schémas fermés $G$-stables $X \subset W$ dont l’anneau des coordonnées $\mathbb{C}[X]$ est somme directe de $G$-modules simples avec des multiplicités finies et préalablement fixées. Beaucoup d’exemples de tels schémas $H$ ont été déterminés au cours des quinze dernières années, et dans la plupart de ces exemples $G$ est un groupe fini ou un tore. Lorsque le groupe $G$ est arbitraire et que le schéma $H$ est singulier, il s’avère généralement très difficile de déterminer si $H$ est réduit, réductible…

Par ailleurs, la théorie des déformations est un champs ancien est bien connu de la géométrie algébrique, mais sa version $G$-invariante est assez récente et, là encore, peu de résultats sont connus lorsque le groupe $G$ est arbitraire.

Dans cet exposé nous allons montrer la relation entre ces deux sujets, puis nous expliquerons comment utiliser la théorie des déformations invariantes pour déterminer de nouveaux exemples de schémas de Hilbert invariants. En guise d’illustration, nous discuterons quelques exemples explicites où $G \subset GL_3$ est un groupe classique qui opère dans une représentation classique.

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Olivier CHABROL
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