Fluctuations du polynôme caractéristique de matrices de Jacobi aléatoires.

Résumé : Le polynôme caractéristique d’une matrice aléatoire hermitienne induit naturellement un champ aléatoire sur la droite réelle. Dans le cas de matrices aléatoires hermitiennes gaussiennes (GUE), il est attendu que ce champ ait une structure de corrélation très particulière : le logarithme de ce champ est log-corrélé, et son maximum est cœur d’une conjecture de Fydorov et Simm prédisant sa distribution limite. Comme premier pas dans cette direction, nous avons obtenu en collaboration avec R. Butez et O. Zeitouni un théorème central limite pour le logarithme du polynôme caractéristique de matrices de GUE, ainsi que pour une certaine classe de matrices de Jacobi aléatoires. Dans cet exposé, j’expliquerai comment le modèle tridiagonal associé aux matrices du GUE et certaines techniques de la théorie des polynômes orthogonaux permettent d’analyser les fluctuations du polynôme caractéristique.