Séparation des exposants de Lyapunov du flot de Teichmüller

Vincent Delecroix
LaBRI, CNRS, Bordeaux
https://www.labri.fr/perso/vdelecro/

Date(s) : 21/05/2021   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Les exposants de Lyapunov sont les valeurs asymptotiques moyennes d’un cocycle linéaire au-dessus d’un système dynamique (typiquement la dérivée). L’exemple le plus élémentaire consiste à prendre deux matrices A et B dans SL(d,R) dont on prend un produit aléatoire. Les exposants de Lyapunov sont les valeurs limites renormalisées des valeurs singulières de ce produit.

La séparation des exposants de Lyapunov d’un système dynamique mesure son défaut de conformité (dans son sens géométrique). Dans le cadre de dynamique de type hyperbolique les égalités entre exposants de Lyapunov sont entièrement déterminées par la clôture de Zariski du groupe engendré par le cocycle (A et B dans l’exemple ci-dessus). Pour démontrer la séparation des exposants on dispose grossièrement de deux approches :

1) (“version forte”) déterminer le groupe engendré par des méthodes géométriques ou algébriques,

2) (“version faible”) démontrer que certaines formes de matrices apparaissent dans le groupe (à la Guivarc’h–Raugi ou Avila–Viana).

Dans le cadre du flot de Teichmüller sur les espaces de module de différentielles Abéliennes la séparation a été conjecturé par Kontsevich–Zorich et démontré en toute généralité par Avila–Viana via la méthode 2). Depuis récemment, on comprend bien le groupe engendré (Gutiérrez-Romo en raffinant Avila–Viana et Calderon–Salter avec une approche géométrique). La difficulté de la mise en oeuvre de la méthode 2) dans ce cadre vient du fait qu’on a une famille infinie de systèmes dyanmiques à traîter. Le but de l’exposé sera d’expliquer comment démontrer la séparation en toute généralité via un mélange de 1) et 2).

Travail en commun avec M. Bell, V. Gadre, R. Gutiérrez-Romo et S. Schleimer.

Pour voir les images illustrant l’exposé, Vincent vous invite de visiter la page suivante : http://paulbourke.net/fractals/lyapunov/

Lien zoom :
ID de réunion : 982 3700 2819
Code secret : voir mail

Separation of Lyapunov exponents from the Teichmüller flow
Lyapunov exponents are the average asymptotic values ​​of a linear cocycle over a dynamic system (typically the derivative). The most basic example consists in taking two matrices A and B in SL (d, R) from which we take a random product. The Lyapunov exponents are the renormalized limit values ​​of the singular values ​​of this product.
The separation of the Lyapunov exponents of a dynamic system measures its lack of conformity (in its geometric sense). In the framework of hyperbolic type dynamics, the equalities between Lyapunov exponents are entirely determined by the Zariski closure of the group generated by the cocycle (A and B in the example above). To demonstrate the separation of exponents, we have roughly two approaches:
1) (“strong version”) determine the group generated by geometric or algebraic methods,
2) (“weak version”) demonstrate that certain forms of matrices appear in the group (à la Guivarc’h – Raugi or Avila – Viana).
In the framework of the Teichmüller flow on modulus spaces of Abelian differentials the separation was conjectured by Kontsevich – Zorich and demonstrated in all generality by Avila – Viana via method 2). Recently, we understand the group generated (Gutiérrez-Romo by refining Avila – Viana and Calderon – Salter with a geometric approach). The difficulty of implementing method 2) in this context comes from the fact that we have an infinite family of dyanmic systems to process. The aim of the talk will be to explain how to demonstrate the separation in all generality via a mixture of 1) and 2).
Joint work with M. Bell, V. Gadre, R. Gutiérrez-Romo and S. Schleimer.

Emplacement
FRUMAM, St Charles

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