Sous-espaces invariants pour certaines perturbations compactes d’opérateurs diagonaux

Bernard Chevreau
IMB, Université de Bordeaux
https://www.math.u-bordeaux.fr/imb/fiche-personnelle?uid=bchevrea

Date(s) : 20/01/2020   iCal
10 h 00 min - 11 h 00 min

Malgré son apparente extrême simplicité, le problème suivant: “Soit H un espace de Hilbert (complexe, séparable, de dimension infinie), D un opérateur diagonal borné sur H relativement à une certaine base hilbertienne de H et R un opérateur de rang 1. L’opérateur T=D+R a-t-il des sous-espaces (vecctoriels fermés) invariants non triviaux?” reste ouvert. Au-delà de cas triviaux une percée significative fut accomplie en 2007 (JFA) par Foias-Jung-Ko-Pearcy en donnant une réponse positive sous des conditions de croissance des coefficients de Fourier (dans la base hilbertienne donnée) des vecteurs u et v définissant R. Depuis cette percée a été généralisée par Fang-Xia (2011, JFA) et Klaja (2015, JOT) dans 2 directions : d’une part en affaiblissant les conditions de croissance et d’autre part en obtenant des résultats partiels lorsque la perturbation R est de rang fini voire compacte. L’exposé présentera une nouvelle extension de ces résultats.

Invariant subspaces for certain compact perturbations of diagonal operators

Despite its apparent extreme simplicity, the following problem: “Let H be a Hilbert space (complex, separable, of infinite dimension), D a diagonal operator bounded on H relatively to a certain Hilbertian basis of H and R an operator of rank 1. Does the operator T = D + R have non-trivial invariant subspaces (closed vectors)? “ remains open. Beyond trivial cases a significant breakthrough was made in 2007 (JFA) by Foias-Jung-Ko-Pearcy by giving a positive response under conditions of growth of the Fourier coefficients (in the given Hilbertian basis) of the vectors u and v defining R. Since this breakthrough has been generalized by Fang-Xia (2011, JFA) and Klaja (2015, JOT) in 2 directions: on the one hand by weakening the growing conditions and on the other hand by obtaining partial results when the disturbance R is of finite or even compact rank. The talk will present a further extension of these results.

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