Structures de Hodge mixtes sur les idéaux de saut de cohomologie

Louis-Clément Lefèvre
Universität Duisburg-Essen, Allemagne
http://louisclement.lefevre.perso.math.cnrs.fr/

Date(s) : 08/06/2021   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Pour une variété algébrique complexe X, les représentations linéaires du groupe fondamental de X sont paramétrées par un espace de modules qui a une structure de schéma de type fini. À l’intérieur de cet espace de modules sont définis les lieux de saut de cohomologie, dépendant de deux entiers i,k, par la condition : la cohomologie de X en degré i et à valeur dans le système local correspondant a dimension plus grande que k. Ce sont naturellement des sous-schémas fermés. Leur structure a beaucoup été étudiée, notamment en rang 1, et divers résultats indiquent que ces lieux “proviennent de la géométrie”. Nous montrons que les idéaux définissant ces lieux (localement) portent des structures de Hodge mixtes : la structure introduite par Deligne sur la cohomologie des variétés algébriques, généralisant la décomposition de Hodge des variétés Kählériennes compactes, puis sur de nombreux autres invariants topologiques.

Mixed Hodge structures on cohomology jump ideals

For a complex algebraic manifold X, the linear representations of the fundamental group of X are parameterized by a modulus space which has a finite type schema structure. Inside this modulus space are defined the cohomology jump loci, depending on two integers i, k, by the condition: the cohomology of X in degree i and with value in the corresponding local system has dimension greater thank. These are, of course, closed subschemes. Their structure has been studied a lot, especially in rank 1, and various results indicate that these places “come from geometry”. We show that the ideals defining these places (locally) carry mixed Hodge structures: the structure introduced by Deligne on the cohomology of algebraic varieties, generalizing the Hodge decomposition of compact Kähler varieties, then on many other topological invariants.

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