Sur un théorème de Duke et Tóth sur les points de torsion des courbes elliptiques

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Date/heure
Date(s) - 09/04/2015
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Soit $K$ un corps des nombres, $E$ une courbe elliptique sur $K$, et $p$ un premier fini de $K$ où $E$ a bonne réduction $E_p$. Duke et Tóth ont montré qu’il existe une matrice $2$-$2$ $\sigma_p$ avec coefficients entiers satisfaisant la condition suivante. Pour chaque entier $N\geq 1$ non divisible par la caractéristique résiduelle de $p$, l’action galoisienne du Frobenius en $p$ sur la $N$-torsion $E[N]$ est donnée par $\sigma_p mod N$ (par rapport à une base de $E[N]$ convenable). Ils montrent aussi une formule explicite qui décrit $\sigma_p$ à partir du polynôme caractéristique de $E_p$ et de l’index du sous-anneau $Z[\pi_p]$ engendré par l’isogènie de Frobenius de $E_p$ dans l’anneau entier des endomorphismes. Leur méthode utilise le “Deuring Lifting Lemma” et donc est particulier aux courbes elliptiques. Aujourd’hui on va présénter une preuve différente du résultat qui a l’avantage de se généraliser aux varietés abéliennes de type $GL_2$. On parlera aussi d’un projet dont le but est de calculer $\sigma_p$ dans le cas d’une surface abélienne.

[http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/arith-geom/centeleghe/]

Olivier CHABROL
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