Systèmes dynamiques substitutifs et renormalisations

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Date(s) - 24/11/2016
14 h 30 min - 16 h 00 min

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Soutenance de thèse


Ce travail de thèse porte sur l’étude de systèmes dynamiques substitutifs. Les substitutions ont historiquement été introduites pour décrire la suite des sommes des chiffres modulo 2 en base 2. On étudie des propriétés de la suite somme des chiffres et notamment les propriétés des densités asymptotiques d’ensembles liés aux autocorrélations de fonctions arithmétiques définies par les fonctions somme des chiffres. On démontre notamment un théorème de la limite centrale pour ces densités. On étudie également les propriétés de régularité de la fonction de pression dans le cadre du formalisme thermodynamique, introduit par Bowen , Ruelle et Sinaï pour une famille de potentiels définis en terme de distance à l’attracteur de la substitution de k-bonacci. On démontre la convergence des itérés de l’opérateur de renormalisation introduit par Baraviera, Leplaideur et Lopes vers un point fixe pour cette même famille de potentiels. Enfin, on étudie des propriétés de régularité de certaines mesures spectrales associées à des pavages auto-similaires en s’appuyant sur des travaux de Bufetov et Solomyak portant sur les déviations des sommes ergodiques dans le cas de l’action par translation de R^d sur les pavages auto-similaires de R^d. On démontre qu’après renormalisation, ces mesures spectrales se comportent comme des mesures de Radon autour de zéro.

Abstract :
In the present work we study substitutive dynamical systems. Historically, substitutions have been introduced in order to describe the sequence of the sum-of-digits mod 2 in base 2. We study some properties of densities of sets defined by sum-of-digits functions, sets which are linked with autocorrelations of some arithmetic functions. We prove that these densities are usually normally distributed. We also study the regularity of the pressure function in the framework of the thermodynamics formalism, introduced by Bowen, Ruelle and Sinaï, for a family of potentials defined in terms of distance to the attractor of the k-bonacci substitution. We also show that the iterations of the renormalisation operator defined by Baraviera, Leplaideur and Lopes converge towards a fixed point of this operator. Finally we study the regularity of some spectral measures associated to self-similar tilings using mostly works from Bufetov and Solomyak on the deviations of ergodic sums for the action of translations by vectors in R^d on self-similar tilings of R^d. We prove that, after renormalisation, these spectral measures behave like Radon measures around zero.

*Membres du jury :


Fabien DURAND, Université de Picardie Jules Vernes (Rapporteur)
Boris SOLOMYAK, Université de Bar-Ilan (Rapporteur)
Valérie BERTHÉ, Université Paris Diderot (Examinatrice)
Alexander BUFETOV, Aix-Marseille Université (Examinateur)
Jérôme BUZZI, Université Paris Sud (Examinateur)
Sébastien GOUËZEL, Université de Nantes (Examinateur)
Nicolas BÉDARIDE, Aix-Marseille Université, Directeur de thèse ;
Pascal HUBERT, Aix-Marseille Université, co-Directeur de thèse.

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Voir également la Journée Spéciale 2016.

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Lien : theses.fr

Olivier CHABROL
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