Théorèmes ergodiques, actions de groupes et représentations unitaires

Antoine Pinochet-Lobos
I2M, Château-Gombert, Marseille
http://www.theses.fr/s152252

Date(s) : 21/06/2019   iCal
14 h 00 min - 16 h 00 min

Soutenance de thèse

Dans cette thèse, nous étudions différents problèmes de la théorie ergodique des actions de groupes. Le premier problème, étudié en collaboration avec Ch. Pittet, est celui de l’estimation de la discrépance, qui est un nombre qui quantifie la vitesse de mélange pour une action préservant la mesure d’un groupe sur un espace de probabilité. Nous étudions cette discrépance dans le cas où le groupe agissant est discret, puis, de manière plus générale, quand il est localement compact. Nous démontrons une minoration générale de cette discrépance par la norme de la représentation régulière. Nous nous intéressons ensuite à la propriété de Howe-Moore. Bien connue dans le cas des groupes de Lie simples non compacts, elle affirme que toute action de ces groupes qui est ergodique est automatiquement mélangeante. Nous généralisons l’approche axiomatique de Ciobotaru pour considérer le cas des produits (qui n’ont pas Howe-Moore), et démontrer que de nombreux produits finis de groupes ayant la propriété de Howe-Moore vérifient une propriété un peu plus faible mais qui implique encore le mélange. Ensuite, en collaboration avec A. Boyer, nous étudions l’action d’un groupe libre de type fini sur son bord, où la mesure naturelle n’est que quasi-invariante. Nous démontrons un théorème ergodique à la Bader-Muchnik pour cette action, c’est-à-dire une convergence (pour la topologie faible des opérateurs) de moyennes d’opérateurs de Koopman convenablement pondérées (par la fonction de Harish-Chandra) vers le projecteur orthogonal sur les fonctions constantes sur le bord. Enfin, dans un travail en collaboration avec A. Boyer et Ch. Pittet, nous nous intéressons à la propriété de décroissance rapide radiale (RRD). Cette propriété est un affaiblissement de la propriété de décroissance rapide (RD), qui joue un rôle important dans le travail de Lafforgue sur la conjecture de Baum-Connes. Nous fournissons un exemple d’un groupe possédant la propriété RRD, mais pas la propriété RD, répondant ainsi à une question de I. Chatterji. Nous prouvons, sous des hypothèses raisonnables de croissance sur la fonction de longueur, que les réseaux (cocompacts ou non) des groupes localement compacts héritent de la propriété RRD.

Ergodic theorems, group actions and unitary representations

In this thesis, we first study the notion of discrepance, which measures the rate of convergence of ergodic means. We prove estimations for the discrepancy of actions on the sphere, the torus and the Bernoulli shift, as well as for actions of locally compact groups. Moreover, we prove an inequality that allows us to locate these discrepancies in the larger framework of the Monte-Carlo method. We consider the action of the free group on the boundary of its Cayley tree. We prove a convergence theorem of some means associated with this action, that only preserves the class of the natural measures on this boundary. We recover the previously known result that the unitary representation associated to it is irreducible. We then investigate the Howe-Moore property. Groups that satisfy it have the property that whenever they act ergodically on some probability space, then the action is mixing ; unfortunately, this property is not stable by direct products. We formulate a generalization of the Howe-Moore property, relying on an axiomatization of the Mautner phenomenon, that allows us to treat the case of products. Finally, we prove that every lattice inherits the radial rapid decay property, and give an explicit example of a discrete group, endowed with a natural length function which is quasi-isometric to a word-length, that has RRD but doesn’t have RD

*Membres du jury :

– Pierre-Emmanuel Caprace,
– Indira Chatterji,
– Pierre Mathieu,
– Christophe Pittet, directeur de thèse
– Jean-François Quint.

Liens :
theses.fr
Fiche de l’ED184

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