Théorèmes limites en grande population pour des épidémies spatiales avec interaction de champ moyen

Thèse en préparation à Aix-Marseille , dans le cadre de Mathématiques et informatique de Marseille (184) , en partenariat avec Institut de Mathématiques de Marseille (Groupe AA et Groupe ALEA équipe de recherche PROBA) depuis le 06-11-2019 .

La soutenance se déroulera en anglais. Il sera également possible d’y assister par Zoom (le lien sera communiqué ultérieurement).

Membres du jury / members of the jury:

– François DELARUE, Président du jury, Université Côte d’Azur
– Franco FLANDOLI, Rapporteur, Scuola Normale Superiore di Pisa
– Nicolas FOURNIER, Rapporteur, Sorbonne Université
– Sylvie MÉLÉARD, Examinatrice, École Polytechnique
– Fabienne CASTELL, Examinatrice, Aix-Marseille Université
– Viet-Chi TRAN, Examinateur, Université Gustave Eiffel
– Maxime HAURAY, Directeur de thèse, Aix-Marseille Université
– Étienne PARDOUX, Co-encadrant de thèse, Aix-Marseille Université

Résumé : Dans cette thèse, nous étudions un modèle épidémique spatial stochastique où les individus sont caractérisés par leur position et leur état d’infection. Nous commençons par une description microscopique dans laquelle le déplacement des individus est piloté par des interactions de champ moyen, une diffusion dépendant de l’état de l’individu et un bruit environnemental commun. L’évolution des états épidémiologiques est décrite par des processus ponctuels de Poisson avec un taux d’infection dépendant de la distribution des autres individus proches, également de type champ moyen. Ensuite, nous étudions le comportement de ce système au niveau macroscopique lorsque la taille de la population tends vers l’infini.

Dans le premier travail, nous établissons un résultat de propagation conditionnelle du chaos, qui stipule que conditionnellement au bruit commun, les individus sont asymptotiquement indépendants et la dynamique stochastique converge vers un processus McKean-Vlasov non linéaire aléatoire lorsque le nombre N d’individu tend vers l’infini. En conséquence, la mesure empirique associée converge vers une mesure, qui est la solution d’une EDP à champ moyen stochastique pilotée par le bruit commun. C’est un résultat de type loi des grands nombres (LGN), ici dans une version quantitative.

Ensuite, en l’absence de bruit commun, nous étudions la fluctuation de la mesure empirique associée au système ci-dessus autour de sa limite, et nous prouvons ici un théorème central limite (TCL) pour ce modèle. Nous prouvons que ces fluctuations convergent vers un processus limite, qui peut être caractérisé comme l’unique solution d’une EDP stochastique linéaire. Contrairement à la littérature existante utilisant une approche par couplage, pour prouver le TCL, nous étudions directement l’équation d’évolution du processus de fluctuation dans un espace de Sobolev pondéré approprié et suivons une approche Hilbertienne.

Une difficulté technique surgit dans la preuve du TCL, liée aux estimations de régularité d’un semi-groupe de diffusion dans des espaces de Sobolev pondérés. C’est aussi l’objet du travail du dernier chapitre de prouver ce résultat, qui semble avoir une utilité indépendante de son utilisation dans notre preuve du TCL.

Mots clés : Propagation du chaos, Modèle d’épidémie spatiale, Déviation grande, Déviation modérée.

Participer à la réunion Zoom
https://univ-amu-fr.zoom.us/j/87965801977?pwd=TU5hM2h4YmRrR2g3Z1VoYmphbGJSUT09

ID de réunion : 879 6580 1977
Code secret : voir mail

Large population limit theorems for spatial epidemics with mean field interaction

Abstract: In this dissertation, we study a stochastic spatial epidemic model where the individuals are characterized by their position and infection state. We begin with a microscopic description in which the displacement of individuals is driven by mean-field interactions, a state-dependent diffusion and a common environmental noise. The evolution of epidemiological states is described by Poisson point processes with an infection rate depending on the distribution of other nearby individuals, also of the mean-field type. Then, we study the behavior of this system at the macroscopic level when the population size tends to infinity.

In the first work, we establish a conditional propagation of chaos result, which states that conditionally to the common noise, the individuals are asymptotically independent and the stochastic dynamic converges to a random nonlinear McKean-Vlasov process when the number N of individual goes to infinity. As a consequence, the associated empirical measure converges to a measure, which is solution of a stochastic mean-field PDE driven by the common noise. This convergence result is a quantitative version of the law of large numbers (LLN).

Next, in the absence of common noise, we study the fluctuation of the empirical measure associated to the above system around its LLN limit, and we prove a central limit theorem (CLT) for this model. We prove that this fluctuation process converges to a limit process, which can be characterized as the unique solution of a linear stochastic PDE. Unlike the existing literature using a coupling approach, to prove the CLT, we directly study the evolution equation of the fluctuation process in a suitable weighted Sobolev space and follows a Hilbertian approach.

A technical difficulty arises in the proof of the CLT, related to the regularity estimates of a diffusion semigroup in weighted Sobolev spaces. It is the object of the last chapter to prove this result, which seems to have utilities independently of its use in our proof of the CLT.

Keywords: Chaos propagation, Spatial epidemic model, Large deviation, Moderate deviation.

The defense will be conducted in English. It will also be possible to attend by Zoom (the link will be communicated later).

Liens :
https://www.theses.fr/s231040
https://college-doctoral.univ-amu.fr/inscrit/11742
https://adum.parisnanterre.fr/as/ed/cv.pl?mat=111657&site=adumR