Théorèmes limites pour les surfaces quantile et champs de profondeur

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Date(s) - 13/02/2017
15 h 30 min - 16 h 30 min

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Dans cet exposé, on introduit tout d’abords une première généralisation multidimensionnelle du quantile réel vue d’un observateur $O$ dans la direction $u \in \Sd$ et de niveau $\alpha$ via des des demi-espaces orthogonaux à chaque direction d’observation. Ce choix de classe implique que les résultats de convergence ne dépendent pas du choix de $O$. Sous des hypothèses minimales de régularité, l’ensemble des points quantile vue de $O$ définit une surface fermée appelées « surfaces quantile ». Ensuite, on établit pour les surfaces quantile empiriques associées les théorèmes limites uniformément en le niveau de quantile et la direction d’observation, avec vitesses asymptotiques et bornes d’approximation non-asymptotiques. Principalement la LGNU, la LLI, le TCLU, le principe d’invariance fort uniforme puis enfin l’approximation du type Bahadur-Kiefer uniforme, et avec vitesse d’approximation. Ces même résultats se retrouve étendus au cas où les demi-espaces sont remplacés par des formes $\phi$ prises dans une classe plus générale (fonctions, surfaces, projections géodésiques, etc). Dans ce cadre plus général, les résultats dépendent fortement du choix de $O$, et c’est ce qui permet de tirer des interprétations statistiques. Enfin des conséquences méthodologiques en statistique inférentielle sont tirées. Tout d’abord on introduit une nouvelle notion de champ de profondeurs directionnelles baptisée champ d’altitudes. Ensuite, on définit une notion de distance entre lois de probabilité, basée sur la comparaison des deux collections de surfaces quantile du type Gini-Lorrentz. La convergence avec vitesse des mesures empiriques pour cette distance quantile, permet de construire différents tests en contrôlant leurs niveaux et leurs puissances.

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